Лицей КФУ из 9 в 10 класс 2017 год вариант 1

ЛИЦЕЙ КФУ

2017 год

Вариант 1

1. Решите систему уравнений: \[ \begin{cases} 4x + 5y = 8\sqrt{4x + 5y},\\ 4x - 5y = 16. \end{cases} \]
2. В понедельник акции компании подорожали на некоторое количество процентов, а во вторник подешевели на то же самое количество процентов. В результате они стали стоить на 4% дешевле, чем при открытии торгов в понедельник. На сколько процентов подорожали акции компании в понедельник?
3. Решите неравенство: \[ \sqrt{\frac{7(x - 7)^2}{15 - 2x - x^2}} \;\ge\; 0. \]
4. Найдите знаменатель геометрической прогрессии, если разность её шестнадцатого и тринадцатого членов в 12 раз больше суммы двенадцатого, тринадцатого и четырнадцатого членов.
5. Точка \(M\) лежит на стороне \(AB\) параллелограмма \(ABCD\) и делит эту сторону \(AM:MB=3:4\). Отрезки \(DM\) и \(AC\) пересекаются в точке \(F\). Найдите площадь треугольника \(DFC\), если площадь треугольника \(AFD\) равна 63.

Логика

1. На острове \( \tfrac{2}{3}\) всех мужчин женаты и \(\tfrac{3}{5}\) всех женщин замужем. Какая доля населения состоит в браке?
2. В круговом шахматном турнире участвовало 8 человек: 5 мальчиков и 3 девочки. (Каждый игрок играет с каждым ровно 1 партию. За победу даётся 1 очко, за ничью – 0,5, за поражение – 0.) Могли ли мальчики по итогам турнира набрать в два раза больше очков, чем девочки?

Решения задач

1. Решите систему уравнений: \[ \begin{cases} 4x + 5y = 8\sqrt{4x + 5y},\\ 4x - 5y = 16. \end{cases} \] Решение: Обозначим \( t = \sqrt{4x + 5y} \). Тогда первое уравнение примет вид: \[ t^2 = 8t \implies t(t - 8) = 0 \implies t = 0 \text{ или } t = 8. \] Случай 1: \( t = 0 \): \[ 4x + 5y = 0. \] Решаем систему: \[ \begin{cases} 4x + 5y = 0, \\ 4x - 5y = 16. \end{cases} \] Складываем уравнения: \[ 8x = 16 \implies x = 2. \] Подставляем \( x = 2 \) в первое уравнение: \[ 4(2) + 5y = 0 \implies y = -\frac{8}{5}. \] Случай 2: \( t = 8 \): \[ 4x + 5y = 64. \] Решаем систему: \[ \begin{cases} 4x + 5y = 64, \\ 4x - 5y = 16. \end{cases} \] Складываем уравнения: \[ 8x = 80 \implies x = 10. \] Подставляем \( x = 10 \) во второе уравнение: \[ 4(10) - 5y = 16 \implies y = \frac{24}{5}. \] Ответ: \((2; -1{,}6)\) и \((10; 4{,}8)\).
   
   
2. В понедельник акции компании подорожали на \( k% \), а во вторник подешевели на \( k% \). В результате цена стала на 4% дешевле первоначальной. Найдите \( k \). Решение: Пусть начальная цена \( S \). После изменений: \[ S \cdot (1 + \frac{k}{100}) \cdot (1 - \frac{k}{100}) = 0{,}96S. \] Упрощаем: \[ 1 - \left(\frac{k}{100}\right)^2 = 0{,}96 \implies \left(\frac{k}{100}\right)^2 = 0{,}04 \implies \frac{k}{100} = 0{,}2 \implies k = 20\%. \] Ответ: 20%.
   
   
3. Решите неравенство: \[ \sqrt{\frac{7(x - 7)^2}{15 - 2x - x^2}} \;\ge\; 0. \] Решение: Квадратный корень всегда неотрицателен, поэтому неравенство выполняется, когда подкоренное выражение неотрицательно и знаменатель не равен нулю: \[ \frac{7(x - 7)^2}{15 - 2x - x^2} \ge 0. \] Знаменатель: \[ 15 - 2x - x^2 > 0 \implies x^2 + 2x - 15 < 0 \implies (x + 5)(x - 3) < 0 \implies x \in (-5; 3). \] Числитель \( 7(x - 7)^2 \ge 0 \) всегда. С учётом знаменателя: \[ x \in (-5; 3). \] Ответ: \( x \in (-5; 3) \).
   
   
4. Найдите знаменатель геометрической прогрессии, если разность её шестнадцатого и тринадцатого членов в 12 раз больше суммы трёх последовательных членов. Решение: Уравнение для прогрессии \( b_n = b_1 q^{n-1} \): \[ b_{16} - b_{13} = 12(b_{12} + b_{13} + b_{14}). \] Подставляя: \[ b_1 q^{15} - b_1 q^{12} = 12(b_1 q^{11} + b_1 q^{12} + b_1 q^{13}). \] Сокращая \( b_1 q^{11} \): \[ q^4 - q = 12(1 + q + q^2). \] Решая уравнение \( q^4 - 12q^2 - 13q - 12 = 0 \), находим корни: \[ q = 4 \text{ и } q = -3. \] Ответ: 4 и -3.
   
   
5. Точка \( M \) делит \( AB \) в соотношении \( 3:4 \). Площадь треугольника \( AFD \) равна 63. Найдите площадь треугольника \( DFC \). Решение: Используя координаты и отношения площадей, находим: \[ S_{DFC} = \frac{7}{3} S_{AFD} = \frac{7}{3} \cdot 63 = 147. \] Ответ: 147.
   
   
6. Логические задачи:
   1. Доля населения в браке: \[ \frac{12}{19}. \]
   2. Мальчики не могли набрать вдвое больше очков, так как сумма очков не делится на 3.