Лицей КФУ из 9 в 10 класс 2014 год вариант 9.2

ЛИЦЕЙ КФУ

2014 год

Вариант 9.2

1. Упростите выражение и найдите его значение при \(a=9\), \(b=\tfrac19\): \[ \frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{a\sqrt{b} + b\sqrt{a}} + \frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{a\sqrt{b} - b\sqrt{a}} \;\cdot\; \frac{\sqrt{a^3b}}{a + b} \;-\; \frac{2b}{a - b}. \]
2. Найти сумму первых тридцати членов арифметической прогрессии \((a_n)\), в которой \(a_9 = -11\) и \(a_{19} = 19\).
3. Решите систему неравенств \[ \begin{cases} \displaystyle \frac{3x^2 - 7x + 8}{x^2 + 1} \;\ge\; 2,\\[6pt] x^3 + x^2 - 6x \;>\; 0. \end{cases} \]
4. Моторная лодка прошла 21 км по течению реки и вернулась обратно за 2 ч 40 мин. В другой раз та же лодка проплыла 18 км по течению и 14 км против течения за 2 ч. Найдите собственную скорость лодки и скорость течения реки.
5. Площадь параллелограмма равна \(210\sqrt3\), а разность двух его сторон равна 16. Найдите стороны и диагонали параллелограмма, если его тупой угол равен \(120^\circ\).
6. (Логика) Найдите все трёхзначные числа, которые в 18 раз больше суммы своих цифр.
7. (Логика) Три брата, Александр, Борис и Сергей, преподают разные предметы в школах Архангельска, Северодвинска и Котласа.
   • Александр работает не в Архангельске, а Борис — не в Северодвинске.
   • Архангелогородец не преподаёт математику.
   • Тот, кто работает в Северодвинске, преподаёт химию.
   • Борис преподаёт физику.
   Определите, какой предмет преподаёт Сергей и в какой школе он работает.

Решения задач

1. Упростите выражение и найдите его значение при \(a=9\), \(b=\tfrac19\): \[ \frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{a\sqrt{b} + b\sqrt{a}} + \frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{a\sqrt{b} - b\sqrt{a}} \;\cdot\; \frac{\sqrt{a^3b}}{a + b} \;-\; \frac{2b}{a - b}. \]
   Решение:
   Упростим по шагам: 1. Первое слагаемое: \(\frac{\sqrt{a} - b'}{a b' + b \sqrt{a}}\) где \(b' = \sqrt{b}\).
   Умножим числитель и знаменатель на \(\sqrt{ab}\):
   \(\frac{(\sqrt{a} - b') \cdot \sqrt{ab}}{a b' \cdot \sqrt{ab} + b \sqrt{a} \cdot \sqrt{ab}} = \frac{a - b}{a b + a b} = \frac{a - b}{2ab}\).
   
   2. Второе слагаемое: \(\frac{\sqrt{a} + b'}{a b' - b \sqrt{a}} \cdot \frac{a \sqrt{ab}}{a + b}\).
   Умножим числитель и знаменатель на \(\sqrt{ab}\):
   \(\frac{(\sqrt{a} + b') \cdot a \sqrt{ab}}{(a b' - b \sqrt{a}) \cdot (a + b)} = \frac{a(a + b)}{(a^2 - b^2)} \cdot \frac{a}{a + b} = \frac{a^2}{a^2 - b^2}\). Сумма первых двух слагаемых: \(\frac{a - b}{2ab} + \frac{a^2}{a^2 - b^2} = \frac{(a - b)^2 + 2a^3}{2ab(a^2 - b^2)}\). Вычитаем третье слагаемое: \(\frac{(a - b)^2 + 2a^3}{2ab(a^2 - b^2)} - \frac{2b}{a - b} = \frac{- (a^2 + 2ab + b^2)}{2ab(a - b)}\). Подставляем \(a=9\), \(b=\tfrac19\): \(- \frac{81 + 18 + \tfrac{1}{81}}{2 \cdot 9 \cdot \tfrac{1}{9} \cdot (9 - \tfrac{1}{9})} = -1\).
   Ответ: \(-1\).
2. Найти сумму первых тридцати членов арифметической прогрессии \((a_n)\), в которой \(a_9 = -11\) и \(a_{19} = 19\).
   Решение:
   \(a_9 = a_1 + 8d = -11\)
   \(a_{19} = a_1 + 18d = 19\)
   Вычитаем уравнения: \(10d = 30\) \(\Rightarrow\) \(d = 3\). Подставляем \(d = 3\): \(a_1 + 24 = -11 \Rightarrow a_1 = -35\).
   \(S_{30} = \frac{2 \cdot (-35) + 3 \cdot 29}{2} \cdot 30 = \frac{-70 + 87}{2} \cdot 30 = 255\).
   Ответ: \(255\).
3. Решите систему неравенств \[ \begin{cases} \displaystyle \frac{3x^2 - 7x + 8}{x^2 + 1} \;\ge\; 2,\\[6pt] x^3 + x^2 - 6x \;>\; 0. \end{cases} \]
   Решение:
   1. Первое неравенство: \( \frac{3x^2 - 7x + 8 - 2(x^2 +1)}{x^2 +1} \ge 0 \)
   Упрощаем: \( x^2 -7x +6 \ge 0 \Rightarrow x \in (-\infty;1] \cup [6;+\infty)\).
   2. Второе неравенство: \(x(x+3)(x-2) > 0\). Решение: \(x \in (-3;0) \cup (2;+\infty)\).
   Пересечение решений: \(x \in (-3;0) \cup [6;+\infty)\).
   Ответ: \(x \in (-3;0) \cup [6;+\infty)\).
4. Моторная лодка прошла $21\,км$ по течению реки и вернулась обратно за $2\,ч 40 мин$. В другой раз проплыла $18\,км$ по течению и $14\,км$ против течения за 2 ч. Найдите скорости.
   Решение:
   Пусть \(x\) км/ч — собственная скорость, \(y\) км/ч — скорость течения.
   Система: \[ \begin{cases} \frac{21}{x+y} + \frac{21}{x-y} = \frac{8}{3}, \\ \frac{18}{x+y} + \frac{14}{x-y} = 2. \end{cases} \] Обозначим \(u = \frac{1}{x+y}\), \(v = \frac{1}{x-y}\). Получаем: \[ 21u + 21v = \frac{8}{3}, \\ 18u +14v = 2. \] Решая систему, находим: \(u = \frac{1}{21}\), \(v = \frac{1}{7}\). Следовательно:
   \(x + y = 21\), \(x - y =7\). Отсюда \(x =14\) км/ч, \(y=7\) км/ч.
   Ответ: 14 км/ч и 7 км/ч.
5. Площадь параллелограмма равна \(210\sqrt3\), разность сторон 16, угол \(120^\circ\). Найдите стороны и диагонали.
   Решение:
   Пусть стороны \(a\) и \(b\) (\(a > b\)), \(a - b =16\).
   Площадь: \(ab \sin120^\circ =210\sqrt3 \Rightarrow ab = 420\).
   Из \(a - b =16\) и \(ab=420 \Rightarrow a=30\), \(b=14\).
   Диагонали по теореме косинусов:
   \(d_1 = \sqrt{30^2 +14^2 -2 \cdot30 \cdot14 \cdot\cos60^\circ} = \sqrt{676} =26\).
   \(d_2 = \sqrt{30^2 +14^2 +2 \cdot30 \cdot14 \cdot\cos60^\circ} = \sqrt{1336} \approx36,56\).
   Ответ: 30 и 14 см; 26 и \(\sqrt{1336}\) см.
6. Найдите все трёхзначные числа, в 18 раз больше суммы своих цифр.
   Решение:
   Пусть число \(100a +10b +c\), уравнение: \(100a +10b +c =18(a+b+c)\).
   Упрощаем: \(82a =8b +17c\).
   \(a\) от 1 до 9. Перебором находим: \(a=1\), \(b=9\), \(c=2\) (198 — проверка: 198/(1+9+8)=11, 11*18=198); \(a=2\), \(b=8\), \(c=4\) (284/14=20,28); продолжая, находим решения: 198, 297, 396, 495.
   Ответ: 198, 297, 396, 495.
7. Логическая задача. Определите предмет Сергея и город.
   Решение:
   Анализ условий: - Борис преподаёт физику и работает не в Северодвинске. - В Северодвинске преподают химию. - Александр не в Архангельске. - Архангельский не математика.
   Борис работает в Котласе (не Северодвинск), преподаёт физику. Северодвинск — химия. Александр — Северодвинск (химия). Сергей — Архангельск, преподаёт математику или физику. Но Борис уже физику, значит Сергей работает в Архангельске и преподаёт математику.
   Ответ: Сергей преподаёт математику в Архангельске.