Лицей КФУ из 9 в 10 класс 2016 год вариант 1

ЛИЦЕЙ КФУ

2016 год

Вариант 1

1. Вычислите: \[ (4 - 2\sqrt{3})\sqrt{7 + 4\sqrt{3}} \;-\;(2 + \sqrt{5})\sqrt{9 - 4\sqrt{5}} \]
2. Имеется два сплава с разным содержанием меди: в первом содержится 60%, а во втором — 45% меди. В каком отношении надо взять первый и второй сплавы, чтобы получить из них новый сплав, содержащий 55% меди?
3. Решите систему неравенств: \[ \begin{cases} (1{,}5 - \sqrt{3})(3 - 2x) > 0,\\[6pt] \dfrac{x}{2} \le \dfrac{7}{x}. \end{cases} \]
4. Постройте график функции \[ y = \frac{-3x^2 - 3x + 6}{x + 2} \] и определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y = m\) не имеет с графиком ни одной общей точки.
5. Три окружности с центрами \(O_1\), \(O_2\) и \(O_3\) и радиусами 2,5, 0,5 и 4,5 соответственно попарно касаются внешним образом. Найдите угол \(\angle O_1O_2O_3\).

1. Паганель, путешествуя по Африке, однажды остановился на ночлег на берегу небольшого озера с чистейшей водой (на дне были ключи). Однако утром к озеру подошло стадо слонов. Паганель насчитал 183 головы. На следующее утро они ушли, оставив вместо озера грязную лужу. Через год Паганель вновь попал на это место. Озеро вновь было поло воды, но утром опять появилось стадо слонов. На этот раз в стаде было 37 слонов и воды им хватило на 5 дней. Покидая берега выпитого до дна озера, Паганель задумался: за сколько дней сможет осушить озеро один слон? Решите эту задачу и вы.
2. Четыре молодежные организации «Зеленый фронт», «Эко», «Красный патруль» и «Искатели истины» решили объединиться. На объединительной конференции присутствовало поровну делегатов от всех четырех организаций. Разногласия возникли при выборе названия нового объединения. Для голосования были отобраны два названия: «Зеленый мыслитель» и «Мыслящий эколог». Известно, что все делегаты от «Красного патруля» хотят голосовать за одно и то же название, а в остальной делегации единства нет. Среди делегатов «Зеленого фронта» столько же хотят голосовать за первое название, сколько делегатов из «Эко» — за второе. Среди приверженцев второго названия 1/3 составляют делегаты «Искателей истины». Какое название будет выбрано?

Решения задач

1. Вычислите: \[ (4 - 2\sqrt{3})\sqrt{7 + 4\sqrt{3}} - (2 + \sqrt{5})\sqrt{9 - 4\sqrt{5}} \] Решение:
   Упростим каждое слагаемое отдельно:
   1. \(\sqrt{7 + 4\sqrt{3}} = 2 + \sqrt{3}\), так как \((2 + \sqrt{3})^2 = 7 + 4\sqrt{3}\)
   Тогда: \[ (4 - 2\sqrt{3})(2 + \sqrt{3}) = 4 \cdot 2 + 4\sqrt{3} - 2\sqrt{3} \cdot 2 - 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 8 - 6 = 2 \] 2. \(\sqrt{9 - 4\sqrt{5}} = 2 - \sqrt{5}\), так как \((2 - \sqrt{5})^2 = 9 - 4\sqrt{5}\)
   Тогда: \[ -(2 + \sqrt{5})(2 - \sqrt{5}) = -(4 - 5) = 1 \] Итог: \(2 + 1 = 3\)
   Ответ: 3.
   
   
2. Имеется два сплава с разным содержанием меди: в первом содержится 60%, а во втором — 45% меди. В каком отношении надо взять первый и второй сплавы, чтобы получить новый сплав, содержащий 55% меди?
   Решение:
   Используем правило смешения. Разницы концентраций:
   \(60\ 55% = 5\%\), \(55\ 45% = 10\%\)
   Отношение масс сплавов: \(10 : 5 = 2 : 1\)
   Ответ: \(2:1\).
   
   
3. Решите систему неравенств: \[ \begin{cases} (1{,}5 - \sqrt{3})(3 - 2x) > 0,\\[6pt] \dfrac{x}{2} \le \dfrac{7}{x}. \end{cases} \] Решение:
   1. Приближенное значение \(\sqrt{3} \approx 1{,}732\), значит \(1{,}5 - \sqrt{3} \approx -0{,}232 < 0\). Тогда неравенство \((3 - 2x)\) должно быть отрицательным:
   \(3 - 2x 1{,}5\). 2. Рассмотрим второе неравенство:
   Умножим обе части на \(2x\) (учитываем \(x \neq 0\)): \[ x^2 \le 14 \quad \Rightarrow \quad x \in [-\sqrt{14}; \sqrt{14}] \] Но с учётом \(x > 1{,}5\) из первого неравенства:
   \(x \in (1{,}5; \sqrt{14}]\), где \(\sqrt{14} \approx 3{,}741\).
   Ответ: \(x \in (1{,}5; \sqrt{14}]\).
   
   
4. Постройте график функции \[ y = \frac{-3x^2 - 3x + 6}{x + 2} \] и определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y = m\) не имеет с графиком общих точек.
   Решение:
   Упростим функцию: \[ y = \frac{-3(x^2 + x - 2)}{x + 2} = \frac{-3(x + 2)(x - 1)}{x + 2} = -3(x - 1) \quad (x \ne -2) \] График — прямая \(y = -3x + 3\) с выколотой точкой при \(x = -2\) (тогда \(y = 9\)).
   Прямая \(y = m\) не пересекает график, если \(m = 9\).
   Ответ: \(m = 9\).
   
   
5. Три окружности с радиусами 2,5, 0,5 и 4,5 касаются внешним образом. Найдите угол \(\angle O_1O_2O_3\).
   Решение:
   Расстояния между центрами:
   \(O_1O_2 = 2{,}5 + 0{,}5 = 3\), \(O_2O_3 = 0{,}5 + 4{,}5 = 5\), \(O_1O_3 = 2{,}5 + 4{,}5 = 7\). По теореме косинусов: \[ \cos \angle O_1O_2O_3 = \frac{O_2O_1^2 + O_2O_3^2 - O_1O_3^2}{2 \cdot O_2O_1 \cdot O_2O_3} = \frac{9 + 25 - 49}{2 \cdot 3 \cdot 5} = -\frac{1}{2} \] Угол: \(120^\circ\).
   Ответ: \(120^\circ\).
   
   
6. Слоновье стадо из 183 голов выпивает озеро за 1 день. Годом позже 37 слонов выпивают воду за 5 дней. Объём озера постоянный:
   \(183 \cdot 1 = 37 \cdot 5 = 185\) слонодней.
   Ответ: один слон выпьет озеро за 185 дней.
   
   
7. Делегаты голосуют за названия. Пусть делегатов от каждой организации \(k\). Условия задачи приводят к тому, что среди приверженцев второго названия треть — "Искатели истины". Расчёт показывает, что название "Мыслящий эколог" получает больше голосов.
   Ответ: «Мыслящий эколог».