Лицей КФУ из 9 в 10 класс 2015 год вариант 1

ЛИЦЕЙ КФУ

2015 год

Вариант 1

1. Найдите наименьшее значение выражения \[ (\,17 - 4x - 5y)^2 + (\,3x - y - 4,2)^2 + 3 \] и значения \(x\) и \(y\), при которых оно достигается.
2. Снижение себестоимости товара составляет \(5\%\) в год. Первоначальная стоимость товара — 80000 рублей. Какой станет себестоимость товара через 4 года?
3. Решите систему неравенств \[ \sqrt{x^2 + 4x + 3} \;\ge\; 0, \quad \sqrt{\,(x^2 + 5x + 5)^2}\;\le\;1. \]
4. Определите количество корней уравнения \[ |x^2 - 4x| = a \] при всех неотрицательных значениях параметра \(a\).
5. Одна из сторон треугольника в \(4{,}2\) раза больше другой, угол между ними равен \(60^\circ\), а третья сторона равна \(19\) см. Найдите периметр и площадь треугольника.
   Часть II. Логика.
6. Города \(A\) и \(B\) и городок \(C\) лежат на одной проселочной дороге (в той последовательности, в которой они перечислены). Из \(B\) в \(C\) ровно в 6 утра отправляется возница на телеге со средней скоростью \(10\)км/ч. В тот же день в 7 утра из \(A\) в \(C\) выезжает велосипедист со средней скоростью \(15\)км/ч.
   1. Сколько километров отделяет город \(B\) от городка \(C\), если расстояние между городами \(A\) и \(B\) равно \(5\)км и велосипедист прибывает в \(C\) на 20 минут раньше возницы?
   2. Когда и на каком расстоянии от \(C\) велосипедист догонит возницу?
7. Что больше: \[ \frac{10^{2005} + 1}{10^{2006} + 1} \quad\text{или}\quad \frac{10^{2004} + 1}{10^{2005} + 1}\;? \]

Решения задач

1. Найдите наименьшее значение выражения \[ (\,17 - 4x - 5y)^2 + (\,3x - y - 4,2)^2 + 3 \] и значения \(x\) и \(y\), при которых оно достигается.
   Решение: Минимальное значение достигается при одновременном равенстве нулю выражений в квадратах. Решим систему уравнений: \[ \begin{cases} 17 - 4x - 5y = 0 \\ 3x - y = 4,2 \end{cases} \] Из второго уравнения выразим \(y = 3x - 4,2\) и подставим в первое: \[ 17 - 4x -5(3x - 4,2) = 17 -19x +21 = -19x +38 = 0 \implies x = 2. \] Тогда \(y = 3 \cdot 2 - 4,2 = 1,8\). Подставляя \(x=2\), \(y=1,8\) в исходное выражение, получим минимальное значение \(3\).
   Ответ: Минимальное значение равно \(3\), достигается при \(x = 2\), \(y = 1,8\).
   
   
2. Снижение себестоимости товара составляет \(5\%\) в год. Первоначальная стоимость товара — 80000 рублей. Какой станет себестоимость товара через 4 года?
   Решение: Себестоимость уменьшается по формуле: \[ 80000 \cdot (1 - 0,05)^4 \approx 80000 \cdot 0,81450625 \approx 65160,5 \text{ рублей}. \] Ответ: \(65160,5\) руб.
   
   
3. Решите систему неравенств \[ \sqrt{x^2 + 4x + 3} \;\ge\; 0, \quad \sqrt{\,(x^2 + 5x + 5)^2}\;\le\;1. \]
   Решение: Первое неравенство выполняется при \(x^2 +4x +3 \ge 0 \implies x \in (-\infty; -3] \cup [-1; +\infty)\). Второе неравенство равносильно \(|x^2 +5x +5| \le1\), что дает: \[ \begin{cases} x^2 +5x +5 \ge -1 \implies x \in (-\infty; -3] \cup [-2; +\infty) \\ x^2 +5x +5 \le1 \implies x \in [-4; -1] \end{cases} \] Пересечение условий: \(x \in [-4; -3] \cup [-2; -1]\).
   Ответ: \(x \in [-4; -3] \cup [-2; -1]\).
   
   
4. Определите количество корней уравнения \(|x^2 - 4x| = a\) при всех неотрицательных значениях параметра \(a\).
   Решение: График функции \(y = |x^2 -4x|\) пересекается с горизонтальной прямой \(y=a\):
   • \(a = 0\): 2 корня (\(x=0\), \(x=4\));
   • \(0 < a <4\): 4 корня;
   • \(a =4\): 3 корня (две точки касания);
   • \(a >4\): 2 корня.
   Ответ: 2 при \(a>4\); 3 при \(a=4\); 4 при \(0<a<4\); 2 при \(a=0\).
   
   
5. Одна из сторон треугольника в \(4{,}2\) раза больше другой, угол между ними равен \(60^\circ\), а третья сторона равна \(19\) см. Найдите периметр и площадь треугольника.
   Решение: Пусть меньшая сторона \(x\), тогда вторая сторона \(4{,}2x\). По теореме косинусов: \[ 19^2 = x^2 + (4{,}2x)^2 - 2 \cdot x \cdot4{,}2x \cdot \cos60^\circ \implies x=5 \text{ см}. \] Стороны: \(5\) см, \(21\) см, \(19\) см. Периметр \(5 +21 +19 =45\) см. Площадь: \[ S = \frac{1}{2} \cdot5\cdot21\cdot\sin60^\circ \approx45{,}47 \text{ см}^2. \] Ответ: \(45\) см, \(45{,}47\) см\(^2\).
   
   
6. Города \(A\) и \(B\) и городок \(C\) лежат на одной проселочной дороге. Возница отправляется из \(B\) в \(C\) со скоростью \(10\) км/ч в 6 утра. Велосипедист выезжает из \(A\) в \(C\) в 7 утра со скоростью \(15\) км/ч.
   1. Расстояние \(BC =20\) км (решение уравнения \(s/10 - (5+s)/15 =1/3\)).
   2. Велосипедист догонит возницу в момент его прибытия в \(C\) (8:00 утра).
   Ответ: а) \(20\) км; б) в 8:00 утра.
   
   
7. Сравнение дробей: \[ \frac{10^{2005} +1}{10^{2006} +1} < \frac{10^{2004} +1}{10^{2005} +1}. \] Ответ: Вторая дробь больше.