Лицей КФУ из 8 в 9 класс 2024 год вариант 4

ЛИЦЕЙ КФУ

2024 год

Вариант 4

1. Упростите выражение и вычислите его значение при \(x = \tfrac{1}{2}\): \[ \Bigl(\frac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}+3} \;+\;\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-3}\Bigr)\,\sqrt{x^2 - 18x + 81}. \]
2. Решите уравнение: \[ \frac{6}{x-1} \;-\;\frac{4x-14}{x-2} \;=\;\frac{4x-10}{x^2-3x+2}. \]
3. Окружность с центром \(O\), вписанная в ромб \(ABCD\), касается сторон \(AB\) и \(AD\) в точках \(L\) и \(K\) соответственно, причём \(\angle LOK = 135^\circ\). Найдите радиус окружности, если периметр ромба равен \(8\sqrt{2}\).
4. Производительность труда второй бригады на \(50\%\) меньше, а производительность труда третьей бригады на \(50\%\) больше, чем производительность труда первой бригады. Первая и третья бригады вместе выполняют ту же работу, что и вторая бригада. На сколько процентов время выполнения работы второй бригадой больше времени выполнения совместной работы первой и третьей бригад?
5. В остроугольном треугольнике \(ABC\) проведены высоты \(AS\) и \(BM\).
   1. Докажите, что треугольники \(ABC\) и \(MSC\) подобны;
   2. Найдите площадь треугольника \(MSC\), если угол \(\angle ACB = 60^\circ\), а площадь треугольника \(ABC\) равна \(24\sqrt{3}\).
6. При каких значениях параметра \(m\) уравнение \[ x^2 - 8\lvert x\rvert + 16 - m^2 = 0 \] имеет ровно три корня?
7. Какая последняя цифра у числа \(23^{2024} + 23\)?

Решения задач

1. Упростите выражение и вычислите его значение при \(x = \tfrac{1}{2}\): \[ \Bigl(\frac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}+3} \;+\;\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-3}\Bigr)\,\sqrt{x^2 - 18x + 81}. \] Решение: Упростим выражение по частям.
   Первая часть: \[ \frac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}+3} + \frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-3} = \frac{(\sqrt{x}-3)^2 + (\sqrt{x}+3)^2}{(\sqrt{x}+3)(\sqrt{x}-3)} \] Раскроем числитель: \[ (\sqrt{x}-3)^2 + (\sqrt{x}+3)^2 = x - 6\sqrt{x} + 9 + x + 6\sqrt{x} + 9 = 2x + 18 \] Знаменатель упрощается: \[ (\sqrt{x}+3)(\sqrt{x}-3) = x - 9 \] Вторая часть выражения: \[ \sqrt{x^2 - 18x + 81} = \sqrt{(x-9)^2} = |x-9| \] При \(x = \frac{1}{2}\) выражение \(|x-9|\) равно \(9 - \frac{1}{2} = \frac{17}{2}\).
   Совокупное выражение: \[ \frac{2x + 18}{x-9} \cdot (9 - x) = \frac{2x + 18}{-(9 - x)} \cdot (9 - x) = -(2x + 18) \] Подставляя \(x = \frac{1}{2}\): \[ -(2 \cdot \frac{1}{2} + 18) = -(1 + 18) = -19 \] Ответ: \(-19\).
   
   
2. Решите уравнение: \[ \frac{6}{x-1} \;-\;\frac{4x-14}{x-2} = \frac{4x-10}{x^2-3x+2}. \] Решение: Учитывая, что \(x^2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2)\), домножим обе части уравнения на \((x-1)(x-2)\): \[ 6(x-2) - (4x -14)(x-1) = 4x -10 \] Раскроем скобки: \[ 6x -12 - (4x^2 -4x -14x +14) = 4x -10 \] Упростим: \[ 6x -12 -4x^2 +18x -14 = 4x -10 \implies -4x^2 +24x -26 =4x -10 \] Переносим все слагаемые влево: \[ -4x^2 +20x -16 = 0 \quad |:(-4) \] \[ x^2 -5x +4 = 0 \implies x_{1,2} = 1;\ 4 \] Проверим корни:
   • \(x=1\): обращает знаменатель в ноль — не подходит.
   • \(x=4\): удовлетворяет ОДЗ.
   Ответ: 4.
   
   
3. Окружность с центром \(O\), вписанная в ромб \(ABCD\), касается сторон \(AB\) и \(AD\) в точках \(L\) и \(K\) соответственно, причём \(\angle LOK = 135^\circ\). Найдите радиус окружности, если периметр ромба равен \(8\sqrt{2}\).
   Решение: Периметр ромба \(8\sqrt{2}\) \(\implies\) сторона \(AB = 2\sqrt{2}\). В ромбе все стороны равны, углы попарно равны. Центр окружности лежит в точке пересечения диагоналей. Треугольник \(OLK\) — равнобедренный с углом \(135^\circ\), стороны \(OL = OK = r\). По теореме косинусов: \[ LK^2 = r^2 + r^2 - 2r^2\cos135^\circ = 2r^2 + 2r^2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = r^2(2 + \sqrt{2}) \] Расстояние между точками касания на смежных сторонах ромба равно \(2\sqrt{2} - 2a\), где \(a\) — расстояние от вершины до точки касания. Поскольку диагонали ромба делят углы пополам, угол между стороной и диагональю равен \(\frac{135^\circ}{2} = 67.5^\circ\). Используя свойства ромба и треугольников, найдём: \[ r = \frac{AB}{2\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{2\sqrt{2}} = 1 \] Ответ: 1.
   
   
4. Производительность второй бригады на \(50\%\) меньше первой, третьей — на \(50\%\) больше. Первая и третья вместе выполняют ту же работу, что и вторая. Найти, на сколько процентов время второй бригады больше совместного времени первой и третьей.
   Решение: Пусть производительность первой бригады \(P\). Тогда вторая — \(0.5P\), третья — \(1.5P\). Совместная производительность первой и третьей: \(P + 1.5P = 2.5P\). Время выполнения работы:
   Для первой и третьей: \(t_{1+3} = \frac{Q}{2.5P}\),
   Для второй: \(t_2 = \frac{Q}{0.5P}\).
   Отношение времени: \(\frac{t_2}{t_{1+3}} = \frac{2.5P}{0.5P} = 5\). Разница: \(5 - 1 = 4 \implies\) на $400\%$
   Ответ: на $400\%.$
   
   
5. В остроугольном треугольнике \(ABC\) проведены высоты \(AS\) и \(BM\).
   1. Доказательство подобия треугольников \(ABC\) и \(MSC\):
      \(\angle C\) — общий. Углы \(\angle MSC\) и \(\angle BAC\) равны как соответствующие при параллельных (из свойства высот). Следовательно, треугольники подобны по двум углам.
   2. Площадь треугольника \(MSC\), если \(\angle ACB = 60^\circ\), а площадь \(ABC\) равна \(24\sqrt{3}\):
      Из подобия коэффициент \(k = \cos60^\circ = 0.5\), тогда площадь \(S_{MSC} = S_{ABC} \cdot k^2 = 24\sqrt{3} \cdot 0.25 = 6\sqrt{3}\).
      Ответ: \(6\sqrt{3}\).
   
   
   
6. Найдите значения параметра \(m\), при которых уравнение \[ x^2 - 8\lvert x\rvert + 16 - m^2 = 0 \] имеет ровно три корня.
   Решение: Преобразуем уравнение, заменяя \(|x| = t \ge 0\): \[ t^2 -8t +16 -m^2 = 0 \implies (t -4)^2 = m^2 \implies t =4 \pm m \] Уравнение имеет два неотрицательных корня: \(4 + m \ge 0\) и \(4 - m \ge 0\), что верно при \(-4 \le m \le 4\). Для трех корней необходимо, чтобы один из корней \(t=0\):
   Подставим \(t=0\): \(0 -0 +16 -m^2=0 \implies m^2 =16 \implies m = \pm4\), но тогда уравнение имеет корни \(t=0\) и \(t=8\) (для \(m=4\)) или \(-8\) (не подходит). При \(m=4\) уравнение \(|x|=8\) дает два корня, \(|x|=0\) — один, итого три корня. Проверка: \(m=4\) удовлетворяет.
   Ответ: \(m=4\).
   
   
7. Какая последняя цифра у числа \(23^{2024} +23\)?
   Решение: Последняя цифра числа определяется последней цифрой основания. Для \(23\) последняя цифра 3. Цикл степеней 3: 3, 9, 7, 1... Повтор каждые 4. 2024 делится на 4: \(23^{2024}\) оканчивается на 1. Тогда сумма: \(1 + 3 = 4\).
   Ответ: 4.