Лицей КФУ из 8 в 9 класс 2024 год вариант 3

ЛИЦЕЙ КФУ

2024 год

Вариант 3

1. Упростите выражение и вычислите его значение при \(x = \tfrac{1}{2}\): \[ \Bigl(\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+2} \;+\;\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-2}\Bigr)\,\sqrt{x^2 - 8x + 16}. \]
2. Решите уравнение: \[ \frac{6}{x+2} \;-\;\frac{4x-2}{x+1} \;=\;\frac{4x+2}{x^2+3x+2}. \]
3. Окружность, вписанная в ромб \(EFCD\), касается сторон \(EF\) и \(FC\) в точках \(K\) и \(L\) соответственно, причём \(KL = FL\). Найдите периметр ромба, если радиус окружности равен \(\sqrt{3}\).
4. Производительность труда второй бригады на \(40\%\) меньше, а производительность труда третьей бригады на \(40\%\) больше, чем производительность труда первой бригады. Первая и третья бригады вместе выполняют ту же работу, что и вторая бригада. На сколько процентов время выполнения работы второй бригадой больше времени выполнения совместной работы первой и третьей бригад?
5. В остроугольном треугольнике \(ABC\) проведены высоты \(AK\) и \(BL\).
   1. Докажите, что треугольники \(ABC\) и \(LKC\) подобны;
   2. Найдите площадь треугольника \(LKC\), если угол \(\angle ACB = 60^\circ\), а площадь треугольника \(ABC\) равна \(16\sqrt{3}\).
6. При каких значениях параметра \(s\) уравнение \[ x^2 - 12\lvert x\rvert + 36 - s^2 = 0 \] имеет ровно три корня?
7. Какая последняя цифра у числа \(19^{2024} + 19\)?

Решения задач

1. Упростите выражение и вычислите его значение при \(x = \tfrac{1}{2}\): \[ \Bigl(\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+2} \;+\;\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-2}\Bigr)\,\sqrt{x^2 - 8x + 16}. \] Решение: Упростим выражение по действиям. Сначала найдём общий знаменатель дробей: \[ \frac{(\sqrt{x}-2)^2 + (\sqrt{x}+2)^2}{(\sqrt{x})^2 - 4^2} = \frac{(x - 4\sqrt{x} + 4) + (x + 4\sqrt{x} + 4)}{x - 4} = \frac{2x + 8}{x - 4} = \frac{2(x + 4)}{x - 4}. \] Затем вычислим квадратный корень: \[ \sqrt{x^2 - 8x + 16} = \sqrt{(x - 4)^2} = |x -4|. \] При \(x = \tfrac{1}{2}\) получим \( |\tfrac{1}{2} -4| = \tfrac{7}{2} \). Подставим в упрощённое выражение: \[ \frac{2(\tfrac{1}{2} +4)}{\tfrac{1}{2} -4} \times \tfrac{7}{2} = \frac{2 \cdot \tfrac{9}{2}}{- \tfrac{7}{2}} \times \tfrac{7}{2} = -9. \] Ответ: \(-9\).
   
   
2. Решите уравнение: \[ \frac{6}{x+2} \;-\;\frac{4x-2}{x+1} \;=\;\frac{4x+2}{x^2+3x+2}. \] Решение: Заметим, что \(x^2+3x+2 = (x+1)(x+2)\). Умножим обе части уравнения на \((x+1)(x+2)\): \[ 6(x+1) - (4x-2)(x+2) = 4x+2. \] Раскроем скобки: \[ 6x+6 -4x^2 -6x +4 = 4x+2 \quad \Rightarrow \quad -4x^2 +10 = 4x +2. \] Решим квадратное уравнение: \[ 4x^2 +4x -8 =0 \quad \Rightarrow \quad x^2 +x -2=0. \] Корни уравнения: \[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2} = 1 \text{ или } -2. \] Проверим ограничения: \(x+1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -1\), \(x+2 \neq 0 \Rightarrow x \neq -2\). Ответ: \(x = 1\).
   
   Ответ: \(1\).
   
   
3. Окружность, вписанная в ромб \(EFCD\), касается сторон \(EF\) и \(FC\) в точках \(K\) и \(L\) соответственно, причём \(KL = FL\). Найдите периметр ромба, если радиус окружности равен \(\sqrt{3}\). Решение: В прямоугольнике \(EFCD\) радиус вписанной окружности равен высоте ромба. Рассмотрим треугольник \(FLK\), где \(FL = KL\), значит, углы при вершине установятся для правильного треугольника с углами \(60^\circ\). Периметр ромба найдём через формулу связи радиуса и стороны: \[ r = \frac{a \sin\theta}{4} \quad \Rightarrow \quad \sqrt{3} = \frac{a \cdot \tfrac{\sqrt{3}}{2}}{4} \quad \Rightarrow \quad a = 8. \] Тогда периметр равен \(4 \cdot 8 = 32\). Ответ: \(32\).
   
   
4. Производительность второй бригады на \(40\%\) меньше первой, третьей - на \(40\%\) больше первой. Первая и третья бригады вместе выполняют работу за время \(t_1\), а вторая — за время \(t_2\). Сравним времена: \[ t_2 = \frac{W}{0.6P} = \frac{2.4Pt_1}{0.6P} = 4t_1. \] Время второй бригады больше на \( (4t_1 - t_1)/t_1 \times 100% = 300% \). Ответ: на \(300\%\).
   
   
5. 1. Докажите подобие треугольников \(ABC\) и \(LKC\):
      • \(\angle ACB\) — общий.
      • \(\angle LKC = \angle ABC\) (из свойства высот в остром треугольнике).
      Тогда \(\triangle ABC \sim \triangle LKC\) по двум углам.
   2. При \(\angle ACB = 60^\circ\), площади треугольников соотносятся как \((CK/AC)^2\). Ради SAC = CK/3 задачи: \[ S_{LKC} = \left(\frac{1}{2}\right)^2 \cdot 16\sqrt{3} = 4\sqrt{3}. \]
   Ответ: \(4\sqrt{3}\).
   
   
6. При каких \(s\) уравнение \(x^2 - 12|x| + 36 - s^2 = 0\) имеет ровно три корня? Решение: Замена \(y = |x|\) приводит к: \[ y^2 -12y +36 -s^2 =0 \quad \Rightarrow \quad y =6 \pm s. \] Решений три, если одна из ветвей касается нуля:
   • \(s =6 \Rightarrow y=12\) и \(y=0\);
   • \(s=-6 \Rightarrow y=0\) и \(y=12\).
   Ответ: \(s = \pm6\).
   
   
7. Последняя цифра \(19^{2024} + 19\): Поскольку \(19 \equiv -1 \mod10\), то: \[ 19^{2024} \equiv (-1)^{2024} =1 \mod10, \quad 19 \equiv9 \mod10. \] Сумма: \(1 +9 \equiv0 \mod10\). Ответ: \(0\).