Лицей КФУ из 8 в 9 класс 2024 год вариант 2

ЛИЦЕЙ КФУ

2024 год

Вариант 2

1. Упростите выражение и вычислите его значение при \(x = \tfrac{1}{2}\): \[ \Bigl(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1} + \frac{1}{\sqrt{x}+1}\Bigr) * \sqrt{x^2 - 2x + 1}. \]
2. Решите уравнение: \[ \frac{3}{x-1} \;-\;\frac{2x-7}{x-2} \;=\;\frac{2x-5}{x^2-3x+2}. \]
3. Окружность с центром \(O\), вписанная в ромб \(KLMN\), касается сторон \(KL\) и \(KN\) в точках \(X\) и \(Y\) соответственно, причём \(\angle XOY = 135^\circ\). Найдите радиус окружности, если периметр ромба равен \(8\sqrt{2}\).
4. Производительность труда второй бригады на \(25\%\) меньше, а производительность труда третьей бригады на \(25\%\) больше, чем производительность труда первой бригады. Первая и третья бригады вместе выполняют ту же работу, что и вторая бригада. На сколько процентов время выполнения работы второй бригадой больше времени выполнения совместной работы первой и третьей бригад?
5. В остроугольном треугольнике \(ABC\) проведены высоты \(AF\) и \(BH\).
   1. Докажите, что треугольники \(ABC\) и \(HFC\) подобны;
   2. Найдите площадь треугольника \(HFC\), если угол \(\angle ACB = 30^\circ\), а площадь треугольника \(ABC\) равна \(8\sqrt{3}\).
6. При каких значениях параметра \(a\) уравнение \[ x^2 - 10\lvert x\rvert + 25 - a^2 = 0 \] имеет ровно три корня?
7. Какая последняя цифра у числа \(17^{2024} + 17\)?

Решения задач

1. Упростите выражение и вычислите его значение при \(x = \tfrac{1}{2}\): \[ \Bigl(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1} + \frac{1}{\sqrt{x}+1}\Bigr) * \sqrt{x^2 - 2x + 1}. \] Решение: Приведём выражение к общему знаменателю: $$\begin{aligned} &\frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}+1) + (\sqrt{x}-1)}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)} \cdot |x-1| \\ &= \frac{x + 2\sqrt{x} -1}{x-1} \cdot |x-1|. \end{aligned}$$ При \(x = \tfrac{1}{2} < 1\) замена модуля \(|x-1| = 1 - x\): \[ \frac{\tfrac{1}{2} + 2 \cdot \sqrt{\tfrac{1}{2}} -1}{\tfrac{1}{2} -1} \cdot (1 - \tfrac{1}{2}) = \frac{\tfrac{1}{2} + \sqrt{2} -1}{-\tfrac{1}{2}} \cdot \tfrac{1}{2} \\ = -\left( -\tfrac{1}{2} + \sqrt{2} \right) \cdot \tfrac{1}{2} = \tfrac{1}{2} - \sqrt{2}. \] Ответ: \(\tfrac{1}{2} - \sqrt{2}\).
2. Решите уравнение: \[ \frac{3}{x-1} \;-\;\frac{2x-7}{x-2} \;=\;\frac{2x-5}{x^2-3x+2}. \] Решение: Приведём к общему знаменателю \( (x-1)(x-2) \): $$\begin{aligned} 3(x-2) - (2x-7)(x-1) - (2x-5) &= 0 \\ 3x -6 - (2x^2 -9x +7) -2x +5 &= 0 \\ -2x^2 +10x -8 &= 0 \\ 2x^2 -10x +8 &= 0 \\ x^2 -5x +4 &= 0 \\ x &= 4 \quad (x=1 \text{ не входит в ОДЗ}). \end{aligned}$$ Ответ: 4.
3. Окружность с центром \(O\), вписанная в ромб \(KLMN\), касается сторон \(KL\) и \(KN\) в точках \(X\) и \(Y\) соответственно, причём \(\angle XOY = 135^\circ\). Найдите радиус окружности, если периметр ромба равен \(8\sqrt{2}\). Решение: Сторона ромба \( a = 8\sqrt{2}/4 = 2\sqrt{2} \). Так как \(\angle XOY = 135^\circ\), угол между сторонами ромба равен \(45^\circ\). Площадь ромба: \[ S = (2\sqrt{2})^2 \cdot \sin{45^\circ} = 8 \cdot \tfrac{\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}. \] Радиус вписанной окружности: \[ r = \frac{S}{\text{периметр}/2} = \frac{4\sqrt{2}}{4\sqrt{2}} = 1. \] Ответ: 1.
4. Производительность труда второй бригады на \(25\%\) меньше, а производительность труда третьей бригады на \(25\%\) больше, чем производительность первой. Первая и третья бригады вместе выполняют работу за \(t\). Время второй бригады: \(t_2 = \frac{Q}{0.75P}\). Соотношение: \[ \frac{t_2}{t} = \frac{\frac{Q}{0.75P}}{\frac{Q}{2.25P}} = 3 \Rightarrow t_2 = 3t. \] Следовательно, время второй бригады на \(200\%\) больше. Ответ: На $200\%$.
5. 1. Треугольники \(ABC\) и \(HFC\) подобны по двум углам (\(\angle C\) общий, \(\angle HFC = \angle BAC\)).
   2. Коэффициент подобия \(k = \cos{30^\circ} = \tfrac{\sqrt{3}}{2}\). Площадь: \[ S_{HFC} = S_{ABC} \cdot \left(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = 8\sqrt{3} \cdot \tfrac{3}{4} = 6\sqrt{3}. \] Ответ: а) доказано; б) \(6\sqrt{3}\).
6. Уравнение \( |x|^2 -10|x| +25 -a^2 = 0 \implies (|x| -5)^2 = a^2 \). Три корня, когда одно уравн. имеет нулевой корень: \[ a = \pm5 \implies |x|=0,10, \text{ итого } x=0,10,-10. \] Ответ: \(a = \pm5\).
7. Последняя цифра числа \(17^{2024} \equiv 7^{2024} \equiv 7^{4 \cdot 506} \equiv 1 \mod{10}\). Тогда: \[ 17^{2024} +17 \equiv 1 +7 = 8 \mod{10}. \] Ответ: 8.