Лицей КФУ из 8 в 9 класс 2024 год вариант 1

ЛИЦЕЙ КФУ

2024 год

Вариант 1

1. Упростите выражение и вычислите его значение при $x = \frac12$: \[ \Bigl(\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1} + \frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}\Bigr) * \sqrt{x^2 - 2x + 1}. \]
2. Решите уравнение: \[ \frac{3}{x+2} - \frac{2x-1}{x+1} = \frac{2x+1}{x^2 + 3x + 2}. \]
3. Окружность, вписанная в ромб $ABCD$, касается сторон $AB$ и $BC$ в точках $M$ и $P$ соответственно, причем $MP = BP$. Найдите периметр ромба, если радиус окружности равен $\sqrt{3}$.
4. Производительность труда второй бригады на 20% больше, а производительность труда третьей бригады на 20% меньше, чем производительность труда первой бригады. Вторая бригада выполняет ту же работу, которую выполняют первая и третья бригады вместе. На сколько процентов время выполнения работы второй бригадой больше времени выполнения совместной работы первой и третьей бригад?
5. В остроугольном треугольнике $KLM$ проведены высоты $LE$ и $KH$.
   1. Докажите, что треугольники $KLM$ и $EHM$ подобны;
   2. Найдите площадь треугольника $EHM$, если угол $\angle LMK = 45^\circ$, а площадь треугольника $KLM$ равна $10\sqrt{2}$.
6. При каких значениях параметра $k$ уравнение \[ x^2 - 6|x| + 9 - k^2 = 0 \] имеет ровно три корня?
7. Какая последняя цифра у числа $13^{2024} + 13$?

Решения задач

1. Упростите выражение и вычислите его значение при $x = \frac{1}{2}$: \[ \Bigl(\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1} + \frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}\Bigr) * \sqrt{x^2 - 2x + 1}. \] Решение:
   1. Упростим выражение в скобках: \[ \frac{(\sqrt{x}-1)^2 + (\sqrt{x}+1)^2}{(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-1)} = \frac{x - 2\sqrt{x} +1 + x + 2\sqrt{x} +1}{x -1} = \frac{2x + 2}{x -1} \]
   2. Заметим, что $\sqrt{x^2 - 2x +1} = |x -1|$. При $x = \frac{1}{2}$ получаем $|\frac{1}{2} -1| = \frac{1}{2}$.
   3. Подставим $x = \frac{1}{2}$: \[ \frac{2*\frac{1}{2} + 2}{\frac{1}{2} -1} * \frac{1}{2} = \frac{3}{-\frac{1}{2}} * \frac{1}{2} = -6 * \frac{1}{2} = -3 \] Ответ: $-3$.
   
   
2. Решите уравнение: \[ \frac{3}{x+2} - \frac{2x-1}{x+1} = \frac{2x+1}{x^2 + 3x + 2}. \] Решение:
   1. Разложим знаменатель: $x^2 + 3x +2 = (x+1)(x+2)$.
   2. Умножим обе части на $(x+1)(x+2)$: \[ 3(x+1) - (2x-1)(x+2) = 2x+1 \] 3. Раскроем скобки и упростим: \[ 3x +3 - (2x^2 +4x -x -2) = 2x +1 \quad \Rightarrow \quad -2x^2 +2x +5 = 2x +1 \] 4. Получим квадратное уравнение: \[ -2x^2 = -4 \quad \Rightarrow \quad x^2 = 2 \quad \Rightarrow \quad x = \pm\sqrt{2} \] Ответ: $-\sqrt{2}$, $\sqrt{2}$.
   
   
3. Окружность, вписанная в ромб $ABCD$, касается сторон $AB$ и $BC$ в точках $M$ и $P$ соответственно, причем $MP = BP$. Найдите периметр ромба, если радиус окружности равен $\sqrt{3}$.
   Решение:
   1. Пусть $AB = BC = a$, высота ромба $h = 2r = 2\sqrt{3}$.
   2. Из треугольника $BMP$: $BP = MP = x$. По условию $BP = \frac{a}{2}$ (как половина диагонали), значит $a = \sqrt{8x^2}$.
   3. Площадь ромба $S = a*h = a*2\sqrt{3} = 4x\sqrt{3}$.
   4. С другой стороны $S = a^2\sin{\alpha} = a^2*\frac{\sqrt{3}}{2}$.
   5. Приравнивая, получаем $a = \sqrt{8}$. Периметр $4a = 4*\sqrt{8} = 8\sqrt{2}$.
   Ответ: $8\sqrt{2}$.
   
   
4. Производительность труда второй бригады на 20% больше, а производительность труда третьей бригады на 20% меньше, чем производительность труда первой бригады. Вторая бригада выполняет ту же работу, которую выполняют первая и третья бригады вместе. На сколько процентов время выполнения работы второй бригадой больше времени выполнения совместной работы первой и третьей бригад?
   Решение:
   1. Пусть $P$ — производительность первой бригады. Тогда вторая: $1,2P$, третья: $0,8P$.
   2. Время второй бригады: $t_2 = W / (1,2P)$.
   3. Время первой и третьей вместе: $t_{13} = W / (P + 0,8P) = W / (1,8P)$.
   4. Разница времени: $\frac{1/1,2P - 1/1,8P}{1/1,8P} *100% = \frac{0,5}{0,6} *100% ≈ 83,\overline{3}\%$.
   Ответ: на $83,\overline{3}\%$.
   
   
5. В остроугольном треугольнике $KLM$ проведены высоты $LE$ и $KH$.
   1. Докажите, что треугольники $KLM$ и $EHM$ подобны;
   2. Найдите площадь треугольника $EHM$, если угол $\angle LMK = 45^\circ$, а площадь треугольника $KLM$ равна $10\sqrt{2}$.
   Решение:
   a) 1. Угол $\angle KML$ общий.
   2. Углы $\angle KHE$ и $\angle KLM$ равны как углы с перпендикулярными сторонами.
   б) 1. Коэффициент подобия $k = \cos{45^\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
   2. Площадь $S_{EHM} = S_{KLM} * k^2 = 10\sqrt{2} * \frac{1}{2} = 5\sqrt{2}$.
   Ответ: а) подобны по двум углам; б) $5\sqrt{2}$.
   
   
6. При каких значениях параметра $k$ уравнение \[ x^2 - 6|x| + 9 - k^2 = 0 \] имеет ровно три корня? Решение:
   1. Замена $y = |x|$: $y^2 -6y +9 -k^2 =0$ $\Rightarrow$ $(y -3)^2 =k^2$ $\Rightarrow$ $y = 3\pm k$.
   2. Три корня когда $3 + k >0$ и $3 - k=0$ $\Rightarrow$ $k =3$.
   Ответ: $k =3$.
   
   
7. Какая последняя цифра у числа $13^{2024} + 13$? Решение:
   1. Последняя цифра $13^n$ циклически повторяется: 3,9,7,1... Период 4.
   2. $2024 \mod 4 =0$ $\Rightarrow$ последняя цифра $13^{2024}$ →1.
   3. $1 +3 =4$.
   Ответ: 4.