Лицей КФУ из 8 в 9 класс 2021 год вариант 4

ЛИЦЕЙ КФУ

2021 год

Вариант 4

1. Упростите выражение: \[ \sqrt{7 - \sqrt{33}}\;+\;\sqrt{7 + \sqrt{33}}. \]
2. Решите уравнение, используя замену переменных: \[ \Bigl(\frac{5x + 1}{2x - 3}\Bigr)^2 \;+\; \Bigl(\frac{3 - 2x}{5x + 1}\Bigr)^2 = \frac{82}{9}. \]
3. Найдите наименьшее целое число \(x\), при котором верно неравенство: \[ 8 \;-\;\Bigl(\frac{x-1}{4} + \frac{x}{3}\Bigr)\;<\; x. \]
4. Решите задачу. Имеются два сосуда, содержащие \(12\) кг и \(8\) кг раствора кислоты разной концентрации. Если их слить вместе, получится раствор с содержанием кислоты \(65\%\). Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать \(60\%\) кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится во втором растворе?
5. Решите задачу. Основания трапеции равны \(17\) и \(25\). Найдите длину отрезка, соединяющего середины её диагоналей.
6. В треугольнике \(ABC\) проведены биссектрисы углов \(A\) и \(B\), угол между ними равен \(125^\circ\). Найдите угол \(C\).
7. Найдите наименьший угол между часовой и минутной стрелками, если часы показывают 13 ч 55 мин.

Решения задач

1. Упростите выражение: \[ \sqrt{7 - \sqrt{33}}\;+\;\sqrt{7 + \sqrt{33}}. \]
   Решение: Обозначим сумму корней как $S$. Возведём обе части в квадрат:
   $S^2 = (\sqrt{7 - \sqrt{33}} + \sqrt{7 + \sqrt{33}})^2 = 7 - \sqrt{33} + 2\sqrt{(7^2 - (\sqrt{33})^2)} + 7 + \sqrt{33}$
   $S^2 = 14 + 2\sqrt{49 - 33} = 14 + 2\sqrt{16} = 14 + 8 = 22$
   Значит, $S = \sqrt{22}$.
   Ответ: $\sqrt{22}$.
   
   
2. Решите уравнение: \[ \Bigl(\frac{5x + 1}{2x - 3}\Bigr)^2 \;+\; \Bigl(\frac{3 - 2x}{5x + 1}\Bigr)^2 = \frac{82}{9}. \]
   Решение: Введём замену $t = \frac{5x+1}{2x-3}$, тогда $\frac{3-2x}{5x+1} = -\frac{1}{t}$.
   Уравнение примет вид $t^2 + \frac{1}{t^2} = \frac{82}{9}$.
   Используем тождество: $(t - \frac{1}{t})^2 = t^2 + \frac{1}{t^2} - 2$
   Тогда: $\frac{82}{9} - 2 = \frac{64}{9} = (t - \frac{1}{t})^2$ \quad $\Rightarrow$ \quad $t - \frac{1}{t} = \pm \frac{8}{3}$
   Рассмотрим два случая:
   1. $t - \frac{1}{t} = \frac{8}{3}$
      Умножаем на $t$: $t^2 - \frac{8}{3}t - 1 = 0$
      Решение: $t = \frac{\frac{8}{3} \pm \sqrt{\frac{64}{9} + 4}}{2} = \frac{4 \pm 5}{3}$
      Корни: $t_1 = 3$, $t_2 = -\frac{1}{3}$
   2. $t - \frac{1}{t} = -\frac{8}{3}$
      Умножаем на $t$: $t^2 + \frac{8}{3}t - 1 = 0$
      Решение: $t = \frac{-\frac{8}{3} \pm \sqrt{\frac{64}{9} + 4}}{2} = \frac{-4 \pm 5}{3}$
      Корни: $t_3 = \frac{1}{3}$, $t_4 = -3$
   Возвращаемся к исходной переменной:
   1. Для $t = 3$: $\frac{5x+1}{2x-3} = 3 \quad \Rightarrow \quad 5x+1 = 6x - 9 \quad \Rightarrow \quad x = 10$
   2. Для $t = -\frac{1}{3}$: $\frac{5x+1}{2x-3} = -\frac{1}{3} \quad \Rightarrow \quad 15x+3 = -2x + 3 \quad \Rightarrow \quad x = 0$
   3. Проверка остальных корней аналогично приводит к тем же решениям.
   Проверим допустимость решений:
   Для $x=10$: знаменатели $2x-3 = 17 \neq 0$, $5x+1 = 51 \neq 0$ — корень подходит.
   Для $x=0$: знаменатели $2x-3 = -3 \neq 0$, $5x+1 = 1 \neq 0$ — корень подходит.
   Ответ: $0;$ $10.$
   
   
3. Найдите наименьшее целое число \(x\): \[ 8 \;-\;\Bigl(\frac{x-1}{4} + \frac{x}{3}\Bigr)\;<\; x. \]
   Решение: Приведём подобные:
   $8 - \left(\frac{3(x-1) + 4x}{12}\right) <x$
   $8 - \frac{7x -3}{12} <x$
   Умножим обе части на 12:
   $96 -7x +3 <12x \quad \Rightarrow \quad -7x +99 <12x \quad \Rightarrow \quad -19x \frac{99}{19} \approx 5,21$
   Наименьшее целое решение $\lceil5,21\rceil =6$
   Ответ: $6$.
   
   
4. Задача о растворах:
   Решение: Обозначим процент кислоты в первом растворе как $a$, во втором как $b$ (в долях). Составим уравнения:
   - При смешивании целиком: $12a +8b =20 \cdot0,65=13$ кг кислоты
   - При смешивании равных масс (пусть $m$ кг каждого): $\frac{ma +mb}{2m} =0,6 \quad \Rightarrow \quad a +b =1,2$
   Получаем систему: \[ \begin{cases} 12a +8b =13\\ a +b =1,2 \end{cases} \Rightarrow \quad \begin{cases} 12a +8(1,2 -a)=13\\ b =1,2 -a \end{cases} \] \[ 12a +9,6 -8a =13 \quad \Rightarrow \quad4a =3,4 \quad \Rightarrow \quad a =0,85\quad \Rightarrow \quad b=1,2 -0,85=0,35 \] Масса кислоты во втором растворе: $8b=8\cdot0,35=2,8$ кг
   Ответ: $2,8$ кг.
   
   
5. Основания трапеции 17 и 25. Найти отрезок между серединами диагоналей.
   Решение: Середины диагоналей лежат на средней линии трапеции. Длина отрезка равна полуразности оснований: $\frac{25 -17}{2}=4$.
   Ответ: $4$.
   
   
6. Угол между биссектрисами треугольник равен 125°. Найти угол $C$.
   Решение: Угол между биссектрисами равен $90^\circ +\frac{C}{2}$. Составим уравнение:
   $125^\circ=90^\circ +\frac{C}{2} \quad \Rightarrow \quad\frac{C}{2}=35^\circ \quad \Rightarrow \quad C=70^\circ$
   Ответ: $70^\circ$.
   
   
7. Наименьший угол между стрелками в 13:55.
   Решение: Переведём в формат 1:55. Формула угла:
   $|\theta| = |30H -5,5M| = |30\cdot1 -5,5\cdot55|= |30 -302,5|=272,5^\circ$
   Наименьший угол: $360^\circ -272,5^\circ=87,5^\circ$
   Ответ: $87,5^\circ$.