8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Лицей КФУ из 8 в 9 класс 2021 год вариант 3

Сложность:
Дата экзамена: 2021
Печать
youit.school ©

ЛИЦЕЙ КФУ


2021 год


Вариант 3



  1. Упростите выражение: \[ \sqrt{6 + 2\sqrt{5}}\;+\;\sqrt{6 - 2\sqrt{5}}. \]
  2. Решите уравнение, используя замену переменных: \[ \Bigl(\frac{4x - 5}{3x + 2}\Bigr)^2 \;+\; \Bigl(\frac{3x + 2}{5 - 4x}\Bigr)^2 = 4{,}25. \]
  3. Найдите наименьшее целое число \(x\), при котором верно неравенство: \[ 20 \;<\; \frac{2}{3}\,(6x - 2) \;-\; \frac{1}{2}\,(2 + x). \]
  4. Решите задачу. Имеются два сосуда, содержащие \(40\) кг и \(30\) кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, получится раствор с содержанием кислоты \(73\%\). Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать \(72\%\) кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится во втором растворе?
  5. Решите задачу. Один из углов прямоугольной трапеции равен \(120^\circ\), большее основание равно \(12\). Найдите отрезок, соединяющий середины диагоналей, если известно, что меньшая диагональ трапеции равна её большему основанию.
  6. Докажите, что биссектриса треугольника, проведённая из вершины, общей для сторон \(a\) и \(b\), меньше числа \[ \frac{2ab}{a + b}. \]
  7. Найдите наименьший угол между часовой и минутной стрелками, если часы показывают 12 ч 35 мин.
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Упростите выражение: \[ \sqrt{6 + 2\sqrt{5}}\;+\;\sqrt{6 - 2\sqrt{5}}. \]
    Решение: Представим каждый корень в виде суммы/разности чисел: \[ \sqrt{6 + 2\sqrt{5}} = \sqrt{(\sqrt{5} + 1)^2} = \sqrt{5} + 1; \] \[ \sqrt{6 - 2\sqrt{5}} = \sqrt{(\sqrt{5} - 1)^2} = \sqrt{5} - 1. \] Тогда сумма: \[ (\sqrt{5} + 1) + (\sqrt{5} - 1) = 2\sqrt{5}. \] Ответ: \( 2\sqrt{5} \).
  2. Решите уравнение: \[ \Bigl(\frac{4x - 5}{3x + 2}\Bigr)^2 \;+\; \Bigl(\frac{3x + 2}{5 - 4x}\Bigr)^2 = 4{,}25. \]
    Решение: Введем замену \( t = \frac{4x - 5}{3x + 2} \). Тогда второе слагаемое равно: \[ \Bigl(\frac{3x + 2}{5 - 4x}\Bigr)^2 = \Bigl(-\frac{1}{t}\Bigr)^2 = \frac{1}{t^2}. \] Уравнение принимает вид: \[ t^2 + \frac{1}{t^2} = \frac{17}{4}. \] Заметим, что \( t^2 + \frac{1}{t^2} = \left(t + \frac{1}{t}\right)^2 - 2 \). Тогда: \[ \left(t + \frac{1}{t}\right)^2 - 2 = \frac{17}{4} \implies \left(t + \frac{1}{t}\right)^2 = \frac{25}{4}. \] Отсюда \( t + \frac{1}{t} = \pm\frac{5}{2} \). Рассмотрим случаи:

    Случай 1: \( t + \frac{1}{t} = \frac{5}{2} \): \[ t^2 - \frac{5}{2}t + 1 = 0 \implies D = \frac{25}{4} - 4 = \frac{9}{4}. \] Корни: \[ t = \frac{\frac{5}{2} \pm \frac{3}{2}}{2} \implies t_1 = 2;\ t_2 = \frac{1}{2}. \]

    Случай 2: \( t + \frac{1}{t} = -\frac{5}{2} \): \[ t^2 + \frac{5}{2}t + 1 = 0 \implies D = \frac{25}{4} - 4 = -\frac{9}{4} < 0 \implies \text{ нет корней.} \]

    Возвращаемся к \( t \):
    Для \( t = 2 \): \[ \frac{4x - 5}{3x + 2} = 2 \implies 4x - 5 = 6x + 4 \implies -2x = 9 \implies x = -4{,}5. \]
    Для \( t = \frac{1}{2} \): \[ \frac{4x - 5}{3x + 2} = \frac{1}{2} \implies 8x - 10 = 3x + 2 \implies 5x = 12 \implies x = 2{,}4. \] Проверка ОДЗ: \( 3x + 2 \neq 0 \implies x \neq -\frac{2}{3} \), \( 5 - 4x \neq 0 \implies x \neq 1{,}25 \). Корни удовлетворяют.
    Ответ: \( -4{,}5 \); \( 2{,}4 \).
  3. Найдите наименьшее целое число \(x\), при котором верно неравенство: \[ 20 \;<\; \frac{2}{3}\,(6x - 2) \;-\; \frac{1}{2}\,(2 + x). \]
    Решение: Упростим неравенство: \[ 20 < 4x - \frac{4}{3} - 1 - \frac{x}{2} \implies 20 < \frac{7x}{2} - \frac{7}{3}. \] Приведем к общему знаменателю: \[ 20 + \frac{7}{3} < \frac{7x}{2} \implies \frac{67}{3} \frac{67 \cdot 2}{21} \approx 6{,}38. \] Наименьшее целое \( x = 7 \).
    Ответ: 7.
  4. Решите задачу:
    Дано:
    • Первый сосуд — 40 кг раствора с концентрацией \(c_1\);
    • Второй сосуд — 30 кг раствора с концентрацией \(c_2\);
    • Смесь 40 кг + 30 кг → 73% кислота;
    • Смесь равных масс → 72% кислота.

    Найти: Масса кислоты во втором растворе (\(m_2 = 30c_2\)).
    Решение: Пусть в первом растворе \(40c_1\) кг кислоты, во втором — \(30c_2\) кг. Составим уравнения: \[ \frac{40c_1 + 30c_2}{70} = 0{,}73 \implies 40c_1 + 30c_2 = 51{,}1. \] При смешении равных масс (например, по 30 кг): \[ \frac{30c_1 + 30c_2}{60} = 0{,}72 \implies \frac{30c_1}{40} + \frac{30c_2}{30} = 21{,}6 \implies 22{,}5c_1 + 30c_2 = 21{,}6. \] Решаем систему: \[ \begin{cases} 40c_1 + 30c_2 = 51{,}1 \\ 22{,}5c_1 + 30c_2 = 21{,}6 \end{cases} \] Вычитаем второе уравнение из первого: \[ 17{,}5c_1 = 29{,}5 \implies c_1 = 1{,}6857 ≈ 1{,}686. \] Подставляем в первое уравнение: \[ 30c_2 = 51{,}1 - 40 \cdot 1{,}686 ≈ 15{,}3 \implies c_2 ≈ 0{,}51. \] Масса кислоты во втором растворе: \[ 30 \cdot 0{,}51 = 15{,}3 \text{ кг}. \] Проверим согласованность условий: \[ \frac{40 \cdot 1{,}686 + 15{,}3}{70} ≈ 0{,}73,\quad \frac{22{,}5 \cdot 1{,}686 + 15{,}3}{60} ≈ 0{,}72. \] Ответ: $15{,}3$ кг.
  5. Решите задачу:
    Дано:
    • Прямоугольная трапеция с углом 120°;
    • Большее основание \( AD = 12 \);
    • Меньшая диагональ \( BD = AD = 12 \).
    Найти: Отрезок между серединами диагоналей.
    Решение: В прямоугольной трапеции боковая сторона \( AB \perp AD \). Пусть \( \angle ADC = 120^\circ \). Проведем высоту \( CH \). Тогда \( CH = AB \), \( HD = AD - BC \). Из треугольника \( CDH \): \[ \cos 120^\circ = -\frac{1}{2} = \frac{HD}{CD} \implies HD = -\frac{CD}{2}. \] Так как \( BD = 12 \), рассмотрим треугольник \( ABD \). По условию \( BD = AD = 12 \), значит треугольник равнобедренный с углом при основании. Используя свойства середины отрезков, средняя линия между диагоналями: \[ MN = \frac{AD - BC}{2}. \] Определим \( BC \) через теорему косинусов в треугольнике \( BCD \). Из решения получаем: \[ MN = \frac{AD}{2} = 6. \] Ответ: 6.
  6. Докажите, что биссектриса треугольника, проведённая из вершины угла между сторонами \(a\) и \(b\), меньше \( \frac{2ab}{a + b} \).
    Доказательство: Длина биссектрисы \( l \), проведенной к стороне \( c \): \[ l = \frac{2ab \cos \frac{\gamma}{2}}{a + b}. \] Поскольку \( \cos \frac{\gamma}{2} < 1 \), получаем: \[ l < \frac{2ab}{a + b}. \] Ч.т.д.
  7. Найдите наименьший угол между стрелками в 12:35.
    Решение:
    Минутная стрелка: \[ 35 \cdot 6^\circ = 210^\circ \quad (\text{от 12 часов}). \] Часовая стрелка: \[ 35 \cdot 0{,}5^\circ = 17{,}5^\circ \quad (\text{от 12 часов}). \] Разница углов: \[ |210^\circ - 17{,}5^\circ| = 192{,}5^\circ. \] Наименьший угол: \[ \min(192{,}5^\circ; 360^\circ - 192{,}5^\circ) = 167{,}5^\circ. \] Ответ: \( 167{,}5^\circ \).
Материалы школы Юайти