Лицей КФУ из 8 в 9 класс 2021 год вариант 1

ЛИЦЕЙ КФУ

2021 год

Вариант 1

1. Найдите значение выражения: \[ \sqrt{4 - \sqrt{15}}\;+\;\sqrt{4 + \sqrt{15}}. \]
2. Решите уравнение, используя замену переменных: \[ \frac{x^2 - 2x}{4x - 3} \;+\; 5 \;=\; \frac{16x - 12}{2x - x^2}. \]
3. Найдите наименьшее целое число, при котором верно неравенство: \[ 12 \;-\;\frac{1}{3}\bigl(15 - \tfrac{x}{4}\bigr) \;<\; x. \]
4. Решите задачу. Имеются два сосуда, содержащие 10 кг и 16 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, получится раствор с содержанием кислоты 55 %. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 61 % кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом растворе?
5. Решите задачу. Найдите отношение оснований трапеции, если известно, что её средняя линия диагоналями делится на три равные части.
6. Докажите, что медиана треугольника \(ABC\), проведённая из вершины \(A\), меньше полусуммы сторон \(AB\) и \(AC\).
7. Найдите наименьший угол между часовой и минутной стрелками, если часы показывают 12 ч 35 мин.

Решения задач

1. Найдите значение выражения: \[ \sqrt{4 - \sqrt{15}}\;+\;\sqrt{4 + \sqrt{15}}. \]
   Решение: Обозначим данное выражение через \( x \). Возведём обе части в квадрат: \[ x^2 = (\sqrt{4 - \sqrt{15}} + \sqrt{4 + \sqrt{15}})^2 \] Раскроем квадрат суммы: \[ x^2 = (4 - \sqrt{15}) + 2\sqrt{(4 - \sqrt{15})(4 + \sqrt{15})} + (4 + \sqrt{15}) \] Упростим выражение: \[ x^2 = 8 + 2\sqrt{16 - 15} = 8 + 2 \cdot 1 = 10 \] Так как исходное выражение положительно: \[ x = \sqrt{10} \] Ответ: \(\sqrt{10}\).
2. Решите уравнение: \[ \frac{x^2 - 2x}{4x - 3} \;+\; 5 = \frac{16x - 12}{2x - x^2}. \]
   Решение: Преобразуем уравнение: \[ \frac{x(x - 2)}{4x - 3} + 5 = \frac{4(4x - 3)}{x(x - 2)} \] Введём замену \( t = \frac{x^2 - 2x}{4x - 3} \): \[ t + 5 + \frac{4}{t} = 0 \quad \Rightarrow \quad t^2 + 5t + 4 = 0 \] Корни: \( t = -1 \) и \( t = -4 \). Возвращаемся к исходной переменной:
   • Для \( t = -1 \): \[ \frac{x^2 - 2x}{4x - 3} = -1 \quad \Rightarrow \quad x^2 + 2x - 3 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 1, \; x = -3 \]
   • Для \( t = -4 \): \[ \frac{x^2 - 2x}{4x - 3} = -4 \quad \Rightarrow \quad x^2 + 14x - 12 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -7 \pm \sqrt{61} \]
   Проверка подтверждает все корни. Ответ: \( x = -3; \; 1; \; -7 \pm \sqrt{61} \).
   
   
3. Найдите наименьшее целое число, при котором верно неравенство: \[ 12 \;-\;\frac{1}{3}\bigl(15 - \tfrac{x}{4}\bigr) \;<\; x. \]
   Решение: Раскроем скобки: \[ 12 - 5 + \frac{x}{12} < x \quad \Rightarrow \quad 7 \frac{84}{11} \approx 7.64 \] Наименьшее целое: 8. Ответ: 8.
   
   
4. Решите задачу. Имеются два сосуда, содержащие 10 кг и 16 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, получится раствор с содержанием кислоты 55 %. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 61 % кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом растворе?
   Решение: Пусть в первом сосуде \( x \) кг кислоты, во втором \( y \) кг. Система уравнений: \[ \begin{cases} x + y = 26 \cdot 0.55 = 14.3 \\ x + \frac{5y}{8} = 12.2 \end{cases} \] Решаем систему: $$\begin{aligned} y &= 5.6 \\ x &= 14.3 - 5.6 = 8.7 \end{aligned}$$ Ответ: 8.7 кг.
   
   
5. Найдите отношение оснований трапеции, если известно, что её средняя линия диагоналями делится на три равные части.
   Решение: Средняя линия \( MN = \frac{AD + BC}{2} \). Диагонали делят её на отрезки по \( \frac{MN}{3} \). Соотношение отрезков средней линии при делении диагоналями равно отношению оснований. Из условия следует соотношение 1:2. Ответ: \( \frac{AD}{BC} = \frac{1}{2} \) или \( 1:2 \).
   
   
6. Докажите, что медиана треугольника \( ABC \), проведённая из вершины \( A \), меньше полусуммы сторон \( AB \) и \( AC \).
   Решение: Продлим медиану \( AM \) за точку \( M \) до точки \( D \) так, что \( AM = MD \). Получим параллелограмм \( ABDC \). В треугольнике \( ABD \): \[ AD = 2AM < AB + BD = AB + AC \quad \Rightarrow \quad AM < \frac{AB + AC}{2} \] Что и требовалось доказать.
   
   
7. Найдите наименьший угол между часовой и минутной стрелками, если часы показывают 12 ч 35 мин.
   Решение: Угол часовой стрелки от 12 часов: \[ 0.5^\circ/\text{мин} \cdot 35 = 17.5^\circ \] Угол минутной стрелки: \[ 6^\circ/\text{мин} \cdot 35 = 210^\circ \] Разница: \( |210^\circ - 17.5^\circ| = 192.5^\circ \) Наименьший угол: \( 360^\circ - 192.5^\circ = 167.5^\circ \) Ответ: \( 167.5^\circ \).