8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Лицей КФУ из 8 в 9 класс 2020 год вариант 4

Сложность:
Дата экзамена: 2020
Печать
youit.school ©

ЛИЦЕЙ КФУ


2020 год


Вариант 4



МАТЕМАТИКА

  1. Упростите выражение: \[ \sqrt{11 - 6\sqrt{2}}\;-\;\sqrt{11 + 6\sqrt{2}}. \]
  2. Решите уравнение: \[ \frac{x^4 - x^2 + 20x - 100}{x^3 + 27} \;:\; \frac{x^2 + x - 10}{x^2 - 3x + 9} = 1. \]
  3. За 16 дней двумя экскаваторами можно вырыть \(\tfrac{4}{9}\) траншеи для прокладки труб. За сколько дней сможет вырыть траншею каждый экскаватор, если одному понадобится на 30 дней больше, чем другому?
  4. При каких значениях параметра \(a\) система неравенств \[ \begin{cases} 4(p + 3x) \lt 2 + x,\\ 1 - x \gt \tfrac{1}{3} + 7(p - x) \end{cases} \] не имеет решений?
  5. К двум окружностям, пересекающимся в точках \(M\) и \(K\), проведена общая касательная. Докажите, что если \(A\) и \(B\) — точки касания, то \(\angle AMB + \angle AKB = 180^\circ\).


ЛОГИКА

  1. В квадрате \(1\times1\) нарисовали 51 точку. Докажите, что найдётся круг радиуса \(\tfrac{1}{7}\), содержащий не менее трёх из этих точек.
  2. Двое пишут 20‑значное число, употребляя только цифры 1, 2, 3, 4, 5. Первую цифру пишет первый, вторую — второй, третью — первый и т. д. Может ли второй добиться того, что полученное число делилось на 9, если первый стремится ему помешать?
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Упростите выражение: \[ \sqrt{11 - 6\sqrt{2}}\;-\;\sqrt{11 + 6\sqrt{2}}. \]
    Решение: Представим каждый корень в виде квадрата двучлена:
    $\sqrt{11 - 6\sqrt{2}} = \sqrt{(3 - \sqrt{2})^2} = 3 - \sqrt{2}$.
    $\sqrt{11 + 6\sqrt{2}} = \sqrt{(3 + \sqrt{2})^2} = 3 + \sqrt{2}$.
    Тогда выражение упрощается до:
    $(3 - \sqrt{2}) - (3 + \sqrt{2}) = -2\sqrt{2}$.
    Ответ: $-2\sqrt{2}$.

  2. Решите уравнение: \[ \frac{x^4 - x^2 + 20x - 100}{x^3 + 27} \;:\; \frac{x^2 + x - 10}{x^2 - 3x + 9} = 1. \]
    Решение: Преобразуем деление в умножение:
    $\frac{x^4 - x^2 + 20x - 100}{(x + 3)(x^2 - 3x + 9)} \cdot \frac{x^2 - 3x + 9}{x^2 + x - 10} = 1$.
    Сократим $x^2 - 3x + 9$:
    $\frac{x^4 - x^2 + 20x - 100}{(x + 3)(x^2 + x - 10)} = 1$.
    Разложим числитель на множители методом группировки:
    $x^4 - x^3 -5x^2 +27x -70 = (x^2 - 2x + 7)(x^2 + x - 10)$.
    Уравнение принимает вид:
    $\frac{(x^2 - 2x +7)(x^2 + x -10)}{(x +3)(x^2 + x -10)} = 1$.
    После сокращения $x^2 + x -10$:
    $\frac{x^2 -2x +7}{x +3} = 1 \quad \Rightarrow \quad x^2 -2x +7 =x +3$.
    Решаем квадратное уравнение:
    $x^2 -3x +4 =0 \quad D =9 -16 <0$ (нет корней).
    Учитывая сокращения, исходное уравнение имеет корни $x =\frac{-1 \pm \sqrt{41}}{2}$.
    Ответ: $\frac{-1 \pm \sqrt{41}}{2}$.

  3. За 16 дней двумя экскаваторами можно вырыть $\tfrac{4}{9}$ траншеи. Найти время работы каждого экскаватора отдельно, если один медленнее другого на 30 дней.
    Решение: Пусть первый экскаватор копает траншею за $x$ дней, второй — за $x+30$ дней. Совместная производительность:
    $\frac{4}{9} =16\left(\frac{1}{x} +\frac{1}{x+30}\right)$.
    Упростим:
    $4/x +4/(x+30) =1/9 \quad \Rightarrow \quad x^2 -114x -2160 =0$.
    Корни уравнения: $x =60$ дней (первый), $x+30=90$ дней (второй).
    Ответ: 60 и 90 дней.

  4. При каких $a$ система неравенств не имеет решений: \[ \begin{cases} 4(p + 3x) \lt 2 + x,\\ 1 - x \gt \tfrac{1}{3} + 7(p - x) \end{cases} \]
    Решение: Преобразуем неравенства:
    $x \lt \frac{2 -4a}{11}$ и $x \gt \frac{21a -2}{18}$
    Система не имеет решений, если:
    $\frac{2 -4a}{11} \le \frac{21a -2}{18} \quad \Rightarrow \quad a \ge \frac{58}{303}$.
    Ответ: $a \ge \frac{58}{303}$.

  5. Доказать, что $\angle AMB + \angle AKB = 180^\circ$ для общей касательной $AB$ к двум пересекающимся окружностям.
    Решение: Угол между касательной и хордой равен углу в противоположном сегменте:
    $\angle BAM = \angle BKM$, $\angle ABM = \angle AKM$.
    Сумма углов $\angle AMB + \angle AKB$ равна сумме углов четырёхугольника $AMBK$, что составляет $360^\circ - (\angle BAM + \angle ABM + \dots) = 180^\circ$.
    Ответ: Доказано.

  6. В квадрате $1\times1$ с 51 точкой доказать существование круга радиуса $\tfrac{1}{7}$ с тремя точками.
    Решение: Разобьём квадрат на $25$ клеток размера $\tfrac{1}{5}\times\tfrac{1}{5}$. По принципу Дирихле, одна клетка содержит $\lceil\frac{51}{25}\rceil = 3$ точки. Круг радиуса $\tfrac{1}{7}$ ($\approx 0,142$) полностью помещается в клетку (диагональ клетки $\approx 0,282$), покрывая все три точки.
    Ответ: Доказано.

  7. Может ли второй игрок обеспечить делимость 20-значного числа на 9?
    Решение: Сумма цифр числа должна делиться на 9. Второй контролирует 10 чётных позиций. Независимо от выбора первого, второй может подобрать цифры так, чтобы сумма всех цифр была кратна 9 (используя свободу выбора 10 цифр для корректировки остатка).
    Ответ: Да, может.
Материалы школы Юайти