Лицей КФУ из 8 в 9 класс 2020 год вариант 3

ЛИЦЕЙ КФУ

2020 год

Вариант 3

МАТЕМАТИКА

1. Упростите выражение: \[ \sqrt{9 + 4\sqrt{2}} + \sqrt{9 - 4\sqrt{2}}. \]
2. Решите уравнение: \[ \frac{x^3 - 2x^2 + 4x - 8}{x^2 - 2x - 4} \;:\; \frac{x^2 + 4}{2x - 1} = 1. \]
3. Через две трубы половина бассейна наполнится за 2 часа. За сколько часов каждая труба наполнит бассейн, если одной потребуется на 6 часов больше, чем другой?
4. При каких значениях параметра \(a\) система неравенств \[ \begin{cases} 3(a - 5x) \lt 1 + x,\\ 2 - \tfrac{x}{2} \gt 3 + 5(x - a) \end{cases} \] не имеет решений?
5. Три окружности радиусов \(2\), \(3\) и \(10\) попарно касаются внешним образом. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник, вершинами которого являются центры этих трёх окружностей.

ЛОГИКА

1. В квадрате \(1\times1\) нарисовали 51 точку. Докажите, что найдётся прямоугольник со сторонами \(\tfrac{1}{5}\) и \(\tfrac{2}{9}\), содержащий не менее трёх из этих точек.
2. Двое пишут 30‑значное число, употребляя только цифры 1, 2, 3, 4, 5. Первую цифру пишет первый, вторую — второй, третью — первый и т. д. Может ли второй добиться того, что полученное число делилось на 9, если первый стремится ему помешать?

Решения задач

1. Упростите выражение: \[ \sqrt{9 + 4\sqrt{2}} + \sqrt{9 - 4\sqrt{2}}. \]
   Решение: Представим каждое подкоренное выражение как квадрат суммы или разности: \[ \sqrt{9 + 4\sqrt{2}} = 1 + 2\sqrt{2}, \quad \sqrt{9 - 4\sqrt{2}} = 2\sqrt{2} - 1. \] Сумма выражений: \[ (1 + 2\sqrt{2}) + (2\sqrt{2} - 1) = 4\sqrt{2}. \] Ответ: \(4\sqrt{2}\).
   
   
2. Решите уравнение: \[ \frac{x^3 - 2x^2 + 4x - 8}{x^2 - 2x - 4} : \frac{x^2 + 4}{2x - 1} = 1. \]
   Решение: Преобразуем деление в умножение обратной дроби: \[ \frac{(x^3 - 2x^2 + 4x - 8)(2x - 1)}{(x^2 - 2x - 4)(x^2 + 4)} = 1. \] Разложим числитель первой дроби: \(x^3 - 2x^2 + 4x - 8 = (x - 2)(x^2 + 4)\). После сокращений: \[ \frac{(x - 2)(2x - 1)}{x^2 - 2x - 4} = 1. \] Упрощаем уравнение: \[ (x - 2)(2x - 1) = x^2 - 2x - 4 \Rightarrow x^2 - 3x + 6 = 0. \] Дискриминант \(D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = -15 < 0\), действительных корней нет.
   Ответ: решений нет.
   
   
3. Через две трубы половина бассейна наполнится за 2 часа. Время заполнения каждой трубой в отдельности, если одной требуется на 6 часов больше другой.
   Решение: Пусть первая труба заполняет бассейн за \(t\) часов, тогда вторая — за \(t + 6\) часов. Уравнение совместной работы: \[ \frac{1}{t} + \frac{1}{t + 6} = \frac{1}{4} \Rightarrow \frac{2t + 6}{t(t + 6)} = \frac{1}{4} \Rightarrow t^2 - 2t - 24 = 0. \] Корни: \(t = 6\) (вторая труба: \(12\) часов).
   Ответ: \(6\) часов и \(12\) часов.
   
   
4. Система неравенств не имеет решений при: \[ \begin{cases} 3(a - 5x) \lt 1 + x,\\ 2 - \tfrac{x}{2} \gt 3 + 5(x - a) \end{cases} \] Решение: Преобразуем неравенства: \[ 3a - 16x \lt 1 \Rightarrow x \gt \frac{3a - 1}{16}, \] \[ 5a - \tfrac{11x}{2} > 1 \Rightarrow x < \frac{10a - 2}{11}. \] Условие несовместности: \[ \frac{3a - 1}{16} \geq \frac{10a - 2}{11} \Rightarrow a \leq \frac{21}{127}. \] Ответ: \(a \leq \frac{21}{127}\).
   
   
5. Три окружности радиусов \(2\), \(3\), \(10\). Радиус вписанной окружности в треугольник центров.
   Решение: Стороны треугольника центров: \(5\), \(12\), \(13\) (прямоугольный треугольник). Полупериметр \(15\), площадь \(30\). Радиус вписанной окружности: \[ r = \frac{S}{p} = \frac{30}{15} = 2. \] Ответ: \(2\).
   
   
6. В квадрате \(1 \times 1\) с \(51\) точкой существует прямоугольник \(1/5 \times 2/9\) с \(\geq 3\) точками.
   Решение: Разделим квадрат на \(5 \times 5\) клеток (\(25\) прямоугольников \(1/5 \times 2/9\)). По принципу Дирихле: \(51 = 25 \cdot 2 + 1\), минимум одна клетка содержит не менее \(3\) точек.
   Ответ: доказано.
   
   
7. Второй игрок может обеспечить делимость числа на \(9\).
   Решение: Второй игрок может компенсировать сумму цифр первого до кратной \(9\), так как диапазон сумм позволяет выбрать подходящие цифры.
   Ответ: да, может.