Лицей КФУ из 8 в 9 класс 2020 год вариант 2

ЛИЦЕЙ КФУ

2020 год

Вариант 2

МАТЕМАТИКА

1. Упростите выражение: \[ \sqrt{14 + 2\sqrt{33}}\;-\;\sqrt{14 - 2\sqrt{33}}. \]
2. Решите уравнение: \[ \frac{b^4 + 3b^2 + 4}{b^3 - 8} \;:\; \frac{b^2 - b + 2}{b^2 + 2b + 4} = 2. \]
3. Мастер и ученик, работая вместе, могут выполнить заказ на 4 ч быстрее, чем мастер, работая один, и на 16 ч быстрее, чем ученик, работая один. За сколько часов выполнит заказ каждый, работая по отдельности?
4. При каких значениях параметра \(p\) система неравенств \[ \begin{cases} 4(p + 3x) \lt 2 + x,\\ 1 - x \gt \tfrac{1}{3} + 7(p - x) \end{cases} \] имеет хотя бы одно решение?
5. Даны две концентрические окружности радиусов 1 и 3 с общим центром \(O\). Третья окружность касается их обеих. Найдите угол между касательными к третьей окружности, проведёнными из точки \(O\).

ЛОГИКА

1. В квадрате \(1\times1\) нарисовали 51 точку. Докажите, что найдётся круг радиуса \(\tfrac{1}{7}\), содержащий не менее трёх из этих точек.
2. Двое пишут 20‑значное число, употребляя только цифры 1, 2, 3, 4, 5. Первую цифру пишет первый, вторую — второй, третью — первый и т. д. Может ли второй добиться того, что полученное число делилось на 9, если первый стремится ему помешать?

Решения задач

1. Упростите выражение: \[ \sqrt{14 + 2\sqrt{33}}\;-\;\sqrt{14 - 2\sqrt{33}}. \] Решение: Заметим, что подкоренные выражения можно представить в виде квадратов сумм: \[ 14 + 2\sqrt{33} = (\sqrt{11} + \sqrt{3})^2, \quad 14 - 2\sqrt{33} = (\sqrt{11} - \sqrt{3})^2. \] Тогда исходное выражение преобразуется: \[ \sqrt{(\sqrt{11} + \sqrt{3})^2} - \sqrt{(\sqrt{11} - \sqrt{3})^2} = (\sqrt{11} + \sqrt{3}) - (\sqrt{11} - \sqrt{3}) = 2\sqrt{3}. \] Ответ: \(2\sqrt{3}\).
   
   
2. Решите уравнение: \[ \frac{b^4 + 3b^2 + 4}{b^3 - 8} \;:\; \frac{b^2 - b + 2}{b^2 + 2b + 4} = 2. \] Решение: Преобразуем левую часть уравнения: \[ \frac{(b^4 + 3b^2 + 4)}{(b^3 - 8)} \cdot \frac{(b^2 + 2b + 4)}{(b^2 - b + 2)} = 2. \] Разложим знаменатель первой дроби как разность кубов: \[ b^3 - 8 = (b - 2)(b^2 + 2b + 4). \] Разложим числитель первой дроби: \[ b^4 + 3b^2 + 4 = (b^2 - b + 2)(b^2 + b + 2). \] После сокращений уравнение упрощается до: \[ \frac{(b^2 + b + 2)}{(b - 2)} = 2. \] Решим получившееся уравнение: \[ b^2 + b + 2 = 2b - 4 \quad \Rightarrow \quad b^2 - b + 6 = 0. \] Дискриминант: \[ D = 1 - 24 = -23 < 0 \quad \Rightarrow \quad \text{действительных корней нет}. \] Ответ: корней нет.
   
   
3. Мастер и ученик, работая вместе, могут выполнить заказ на 4 часа быстрее мастера и на 16 часов быстрее ученика. За сколько часов выполнит заказ каждый? Решение: Пусть мастер выполняет заказ за \( t \) часов, ученик — за \( u \) часов. Тогда: \[ t - 4 = u - 16 \quad \Rightarrow \quad u = t + 12. \] Совместная производительность: \[ \frac{1}{t} + \frac{1}{t + 12} = \frac{1}{t - 4}. \] Решим уравнение: \[ \frac{2t + 12}{t(t + 12)} = \frac{1}{t - 4} \quad \Rightarrow \quad t^2 - 8t - 48 = 0 \quad \Rightarrow \quad t = 12 \text{ часов}. \] Ученик: \( u = 12 + 12 = 24 \) часов. Ответ: мастер — 12 ч, ученик — 24 ч.
   
   
4. При каких значениях параметра \( p \) система неравенств имеет хотя бы одно решение? \[ \begin{cases} 4(p + 3x) \lt 2 + x,\\ 1 - x \gt \tfrac{1}{3} + 7(p - x) \end{cases} \] Решение: Преобразуем систему к виду: \[ \begin{cases} x \lt \frac{2 - 4p}{11}, \\ x \gt \frac{7p - \frac{2}{3}}{6}. \end{cases} \] Условие существования решения: \[ \frac{7p - \frac{2}{3}}{6} < \frac{2 - 4p}{11} \quad \Rightarrow \quad 303p < 58 \quad \Rightarrow \quad p < \frac{58}{303}. \] Ответ: \( p < \frac{58}{303} \).
   
   
5. Угол между касательными к третьей окружности из точки \( O \). Решение: Пусть радиус третьей окружности \( r = 1 \), расстояние между центрами \( OO_1 = 2 \). Касательная из точки \( O \) к третьей окружности образует прямоугольный треугольник: \[ OA = \sqrt{OO_1^2 - r^2} = \sqrt{3}. \] Угол между касательными: \[ 2\arcsin\left(\frac{r}{OO_1}\right) = 2\arcsin\left(\frac{1}{2}\right) = 60^\circ. \] Ответ: \( 60^\circ \).
   
   
6. Доказательство существования круга радиуса \( \frac{1}{7} \) с тремя точками. Решение: Разделим квадрат \( 1 \times 1 \) на 25 квадратов \( \frac{2}{7} \times \frac{2}{7} \). По принципу Дирихле, хотя бы один квадрат содержит не менее трёх точек. Круг радиуса \( \frac{1}{7} \), центр которого совпадает с центром такого квадрата, покроет все три точки. Ответ: доказано.
   
   
7. Второй игрок может добиться делимости числа на 9. Решение: Сумма цифр числа должна быть кратна 9. Второй игрок может выбирать свои цифры так, чтобы итоговая сумма \( S_A + S_B \equiv 0 \mod 9 \). Диапазон сумм ученика \( 10 \leq S_B \leq 50 \) покрывает все остатки по модулю 9. Стратегия второго игрока — компенсировать остаток суммы первого игрока. Ответ: да, может.