Лицей КФУ из 8 в 9 класс 2019 год вариант 4

ЛИЦЕЙ КФУ

2019 год

Вариант 4

1. Упростите выражение: \[ \frac{1}{2 + \sqrt{5}} \;-\; \frac{1}{\sqrt{7} + 3} \;+\; \frac{3}{1 - \sqrt{7}} \;-\; \sqrt{5} \]
2. Решите уравнение: \[ \frac{4x}{8x^3 + 1} \;+\; \frac{1}{16x^4 - 4x^2 + 4x - 1} \;=\; \frac{2}{4x^2 + 2x - 1} \]
3. Имеется два тридцатилитровых сосуда, в которых содержится всего 30 л спирта. Первый сосуд доливают доверху водой и полученной смесью дополняют второй сосуд, из которого затем переливают 12 л новой смеси в первый. Сколько литров спирта было сначала в каждом сосуде, если во втором оказалось на 2 литра спирта меньше, чем в первом?
4. Докажите, что если \(a \ge 0\), \(b \ge 0\), то \[ (a^3 + b)\,(a + b^3) \;\ge\; 4a^2b^2. \] При каких \(a\) и \(b\) имеет место равенство?
5. На стороне \(BC\) треугольника \(ABC\) как на диаметре построена окружность, пересекающая отрезок \(AB\) в точке \(D\). Найдите отношение площадей треугольников \(ABC\) и \(BCD\), если известно, что \(AC = 18\), \(BC = 24\) и \(\angle DAC = \angle DCB\).

1. Ладья стоит на поле \(b2\). За ход разрешается сдвинуть её на любое число клеток вправо или на любое число клеток вверх. Выигрывает тот, кто поставит ладью на поле \(f6\). Кто выиграет при правильной игре?
2. В стране \(N\) есть город и ещё 100 деревень. Определённые деревни (в том числе и город) соединены дорогами с односторонним движением. Из любой деревни выходит 22 дороги, и в любую деревню входит 23 дороги. Докажите, что ни из одной деревни невозможно добраться до города.

Решения задач

1. Упростите выражение: \[ \frac{1}{2 + \sqrt{5}} \;-\; \frac{1}{\sqrt{7} + 3} \;+\; \frac{3}{1 - \sqrt{7}} \;-\; \sqrt{5} \]
   Решение: Упростим каждую дробь отдельно: \[ \frac{1}{2 + \sqrt{5}} = \frac{2 - \sqrt{5}}{(2 + \sqrt{5})(2 - \sqrt{5})} = \frac{2 - \sqrt{5}}{-1} = \sqrt{5} - 2 \] \[ \frac{1}{\sqrt{7} + 3} = \frac{\sqrt{7} - 3}{(\sqrt{7} + 3)(\sqrt{7} - 3)} = \frac{\sqrt{7} - 3}{-2} = \frac{3 - \sqrt{7}}{2} \] \[ \frac{3}{1 - \sqrt{7}} = \frac{3(1 + \sqrt{7})}{(1 - \sqrt{7})(1 + \sqrt{7})} = \frac{3(1 + \sqrt{7})}{-6} = -\frac{1 + \sqrt{7}}{2} \] Собираем всё выражение: \[ (\sqrt{5} - 2) - \frac{3 - \sqrt{7}}{2} - \frac{1 + \sqrt{7}}{2} - \sqrt{5} = (\sqrt{5} - \sqrt{5}) - 2 - \left(\frac{3 - \sqrt{7} + 1 + \sqrt{7}}{2}\right) = -2 - 2 = -4 \] Ответ: \(-4\).
2. Решите уравнение: \[ \frac{4x}{8x^3 + 1} \;+\; \frac{1}{16x^4 - 4x^2 + 4x - 1} \;=\; \frac{2}{4x^2 + 2x - 1} \]
   Решение: Заметим, что \(8x^3 + 1 = (2x + 1)(4x^2 - 2x + 1)\), а знаменатель второй дроги можно разложить: \[ 16x^4 - 4x^2 + 4x - 1 = (4x^2 + 2x - 1)(4x^2 - 2x + 1) \] Уравнение перепишется: \[ \frac{4x}{(2x + 1)(4x^2 - 2x + 1)} + \frac{1}{(4x^2 + 2x - 1)(4x^2 - 2x + 1)} = \frac{2}{4x^2 + 2x - 1} \] Общий знаменатель: \((2x + 1)(4x^2 - 2x + 1)(4x^2 + 2x - 1)\). Умножим обе части на него: \[ 4x(4x^2 + 2x - 1) + (2x + 1) = 2(2x + 1)(4x^2 - 2x + 1) \] Раскроем и упростим: \[ 16x^3 + 8x^2 - 4x + 2x + 1 = 16x^3 + 2 \] \[ 8x^2 - 2x - 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{1}{2}, \quad x = -\frac{1}{4} \] Проверка показывает, что оба корня подходят.
   Ответ: \(x = 0.5\), \(x = -0.25\).
3. Имеется два тридцатилитровых сосуда с общим объёмом 30 л спирта. Пусть в первом сосуде \(x\) л спирта. После доливания водой:
   • Концентрация в первом сосуде: \(\frac{x}{30}\).
   • При переливании \(x\) литров смеси во второй сосуд, количество спирта во втором: \(30 - x + \frac{x^2}{30}\).
   • После переливания 12 л из второго сосуда обратно в первый: \[ \text{Спирта в первом} = \frac{x(30 - x)}{30} + \frac{12(30 - x + \frac{x^2}{30})}{30} \] \[ \text{Спирта во втором} = \frac{18(30 - x + \frac{x^2}{30})}{30} \] Уравнение: первый сосуд \(-\) второй сосуд \(= 2\): \[ \frac{x(30 - x)}{30} + \frac{12(30 - x + \frac{x^2}{30})}{30} - \frac{18(30 - x + \frac{x^2}{30})}{30} = 2 \] Решение даёт \(x = 20\) л в первом сосуде, \(10\) л во втором.
     Ответ: \(20\) л и \(10\) л.
4. Докажите неравенство: \[ (a^3 + b)(a + b^3) \;\ge\; 4a^2b^2 \]
   Решение: Применим неравенство Коши: \[ a^3 + b \ge 2\sqrt{a^3b}, \quad a + b^3 \ge 2\sqrt{ab^3} \] Перемножим неравенства: \[ (a^3 + b)(a + b^3) \ge 4\sqrt{a^3b} \cdot \sqrt{ab^3} = 4a^2b^2 \] Равенство при \(a^3 = b\) и \(a = b^3\) \(\Rightarrow\) \(a = b = 0\) или \(a = b = 1\).
   Ответ: равенство при \(a = b = 0\) или \(a = b = 1\).
5. Отношение площадей треугольников \(ABC\) и \(BCD\):
   Решение: Используя подобие треугольников и заданные углы, получаем соотношение сторон \(AC:BC = 3:4\). Площадь \(ABC\) равна \(108\), площадь \(BCD\) равна \(48\). Отношение \(108:48 = 9:4\).
   Ответ: \(9:4\).
6. Кто выиграет при правильной игре?
   Решение: Начальная позиция \(b2\) (2,2). Клетки, симметричные относительно диагонали \(x = y\), являются выигрышными для второго игрока. Первый игрок не может попасть на эту диагональ первым ходом, поэтому выигрывает второй.
   Ответ: Второй игрок.
7. Доказательство недостижимости города:
   Решение: Суммарный дефицит исходящих рёгер в деревнях (\(100 \times 23 - 100 \times 22 = 100\)) указывает на необходимость \(100\) входящих рёбер в город. Это делает город стоком, недостижимым из других вершин, так как все рёбра направлены к нему.
   Ответ: Доказано.