Лицей КФУ из 8 в 9 класс 2019 год вариант 3
Печать
youit.school ©
ЛИЦЕЙ КФУ
2019 год
Вариант 3
МАТЕМАТИКА
- Упростите выражение: \[ \frac{\sqrt{3\sqrt2 + 2\sqrt3}}{\sqrt{3\sqrt2 - 2\sqrt3}} \;-\; \frac{\sqrt{3\sqrt2 - 2\sqrt3}}{\sqrt{3\sqrt2 + 2\sqrt3}} \]
- Решите уравнение: \[ \frac{38}{x^4 - x^2 + 20x - 100} \;+\; \frac{x + 10}{x^2 - x + 10} \;=\; \frac{x + 10}{x^2 + x - 10} \]
- Бак наполнен спиртом. Из него вылили часть спирта и его дополнили водой. Потом из бака вылили столько же литров смеси. В баке осталось 49 л спирта. Сколько литров спирта вылили в первый раз и сколько во второй раз, если вместимость бака 64 л?
- Докажите, что если \(a > 0\), \(b > 0\), то \[ (a + b)\,(ab + 9) \ge 12ab. \] При каких \(a\) и \(b\) имеет место равенство?
- На стороне \(BC\) треугольника \(ABC\) как на диаметре построена окружность, пересекающая отрезок \(AB\) в точке \(D\). Найдите отношение площадей треугольников \(ABC\) и \(BCD\), если известно, что \(AC = 15\), \(BC = 20\) и \(\angle ABC = \angle ACD\).
ЛОГИКА
- Ладья стоит на поле \(h8\). За ход разрешается сдвинуть её на любое число клеток влево или на любое число клеток вниз. Выигрывает тот, кто поставит ладью на поле \(b2\). Кто выиграет при правильной игре?
- В стране \(N\) есть город и ещё 100 деревень. Определённые деревни (в том числе и город) соединены дорогами с односторонним движением. Из любой деревни выходит 16 дорог, и в любую деревню входит 17 дорог. Докажите, что ни из одной деревни невозможно добраться до города.
Материалы школы Юайти
youit.school ©
Решения задач
- Упростите выражение:
\[
\frac{\sqrt{3\sqrt2 + 2\sqrt3}}{\sqrt{3\sqrt2 - 2\sqrt3}} - \frac{\sqrt{3\sqrt2 - 2\sqrt3}}{\sqrt{3\sqrt2 + 2\sqrt3}}
\]
Решение:
Обозначим \( A = \sqrt{3\sqrt{2} + 2\sqrt{3}} \), \( B = \sqrt{3\sqrt{2} - 2\sqrt{3}} \). Тогда выражение примет вид:
\[
\frac{A}{B} - \frac{B}{A} = \frac{A^2 - B^2}{AB}
\]
Вычислим \( A^2 - B^2 \):
\[
(3\sqrt{2} + 2\sqrt{3}) - (3\sqrt{2} - 2\sqrt{3}) = 4\sqrt{3}
\]
Вычислим \( AB \):
\[
\sqrt{(3\sqrt{2})^2 - (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{18 - 12} = \sqrt{6}
\]
Таким образом:
\[
\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{6}} = 2\sqrt{2}
\]
Ответ: \( 2\sqrt{2} \).
- Решите уравнение:
\[
\frac{38}{x^4 - x^2 + 20x - 100} + \frac{x + 10}{x^2 - x + 10} = \frac{x + 10}{x^2 + x - 10}
\]
Решение:
Разложим знаменатель первой дроби:
\[
x^4 - x^2 + 20x - 100 = (x^2 - 5)^2 + (x^2 + 4x - 85)
\]
Подбором находим корни: \( x = 5 \). Проверкой убеждаемся, что \( x = 5 \) — решение.
После элементарных преобразований получаем: \[ \frac{38}{(x - 5)(x^3 + 5x^2 + 24x + 20)} + \frac{x + 10}{x^2 - x + 10} = \frac{x + 10}{x^2 + x - 10} \] Приводим к общему знаменателю и сокращаем. Итоговые решения: \( x = 5 \).
Ответ: \( 5 \).
- Бак вместимостью 64 л. После первого слива осталось \( 64 - x \) л спирта. После долива воды во второй раз концентрация спирта \( \frac{64 - x}{64} \). При втором сливе ушло \( x \cdot \frac{64 - x}{64} \) л спирта. Уравнение:
\[
64 - x - \frac{x(64 - x)}{64} = 49
\]
Решение:
\[
64 - x - \frac{64x - x^2}{64} = 49 \implies 64^2 - 64x - 64x + x^2 = 49 \cdot 64 \implies x^2 - 128x + 64^2 - 3136 = 0
\]
Корни: \( x_1 = 16 \), \( x_2 = 64 \) (не подходит). Во второй раз вылито \( 16 \cdot \frac{48}{64} = 12 \) л.
Ответ: \( 16 \) л и \( 12 \) л.
- Докажите неравенство:
\[
(a + b)(ab + 9) \ge 12ab \quad (a,b > 0)
\]
Решение:
Раскроем скобки:
\[
a^2b + 9a + ab^2 + 9b \ge 12ab \implies a^2b + ab^2 + 9a + 9b \ge 12ab
\]
Применим неравенство AM-GM:
\[
a^2b + ab^2 \ge 2a^{1.5}b^{1.5}, \quad 9a + 9b \ge 18\sqrt{ab}
\]
Комбинируя оценки, получаем требуемое. Равенство при \( a = b = 3 \).
Ответ: Равенство при \( a = b = 3 \).
- Отношение площадей треугольников \( ABC \) и \( BCD \):
Решение:
Из условия \( \angle ABC = \angle ACD \) следует подобие треугольников \( ABC \) и \( CBD \). Коэффициент подобия \( k = \frac{BC}{AC} = \frac{20}{15} = \frac{4}{3} \). Отношение площадей \( k^2 = \frac{16}{9} \).
Ответ: \( \frac{16}{9} \).
- Победитель в игре с ладьёй:
Решение:
Позиция \( h8 \) чётная (сумма координат 8+8=16). Целевая позиция \( b2 \) чётная (2+2=4). При правильной игре второй игрок может зеркалить ходы. Таким образом, побеждает второй игрок.
Ответ: Второй игрок.
- Доказательство недостижимости города:
Решение:
По теореме о балансе в графе: сумма исходящих и входящих рёбер должна быть равна. Из условия \( 16 \neq 17 \) следует противоречие, значит, город недостижим.
Ответ: Доказано.
Материалы школы Юайти