Лицей КФУ из 8 в 9 класс 2019 год вариант 2

ЛИЦЕЙ КФУ

2019 год

Вариант 2

1. Упростите выражение: \[ \left(\frac{\sqrt2}{2} - \frac{1}{2\sqrt2}\right) \;\bigl(\, \frac{2 - \sqrt2}{1 + \sqrt2} \;-\; \frac{2 + \sqrt2}{\sqrt2 - 1} \bigr) \]
2. Решите уравнение: \[ \frac{x^2 - 2x + 4}{x^3 - 2x^2 + 4x - 8} \;+\; \frac{x^2 + 2x + 4}{x^3 + 2x^2 + 4x + 8} \;=\; \frac{2x + 2}{x^2 - 4} \]
3. Имеются два одинаковых бассейна. При совместной работе двух насосов один бассейн наполняется водой за 3 часа 36 минут. За сколько времени наполнится каждый бассейн, если к нему подведён только один насос и с помощью второго бассейн наполняется на 3 часа быстрее, чем с помощью первого?
4. Докажите, что если \(a \ge 0\), \(b \ge 0\), то \[ b\,(a^2 + 1) \;+\; a\,(b^2 + 1) \;\ge\; 4ab. \] При каких \(a\) и \(b\) имеет место равенство?
5. На стороне \(PN\) треугольника \(PQN\) как на диаметре построена окружность, пересекающая отрезок \(PQ\) в точке \(L\). Найдите отношение площадей треугольников \(PQN\) и \(PNL\), если известно, что \(QN = 9\), \(PN = 12\) и \(\angle PNL = \angle LQN\).

1. Ладья стоит на поле \(a1\). За ход разрешается сдвинуть её на любое число клеток вправо или на любое число клеток вверх. Выигрывает тот, кто поставит ладью на поле \(g7\). Кто выиграет при правильной игре?
2. В стране \(N\) есть город и ещё 100 деревень. Определённые деревни (в том числе и город) соединены дорогами с односторонним движением. Из любой деревни выходит 18 дорог, и в любую деревню входит 19 дорог. Докажите, что ни из одной деревни невозможно добраться до города.

Решения задач

1. Упростите выражение: \[ \left(\frac{\sqrt2}{2} - \frac{1}{2\sqrt2}\right) \;\bigl(\, \frac{2 - \sqrt2}{1 + \sqrt2} \;-\; \frac{2 + \sqrt2}{\sqrt2 - 1} \bigr) \] Решение:
   Упростим первую скобку: \[ \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{2}{2\sqrt{2}} - \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{2\sqrt{2}}. \] Упростим вторую скобку. Рассмотрим каждую дробь отдельно: \[ \frac{2 - \sqrt{2}}{1 + \sqrt{2}} \cdot \frac{1 - \sqrt{2}}{1 - \sqrt{2}} = \frac{(2 - \sqrt{2})(1 - \sqrt{2})}{-1} = 3\sqrt{2} - 4. \] \[ \frac{2 + \sqrt{2}}{\sqrt{2} - 1} \cdot \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} + 1} = \frac{(2 + \sqrt{2})(\sqrt{2} + 1)}{1} = 3\sqrt{2} + 4. \] Тогда разность: \[ (3\sqrt{2} - 4) - (3\sqrt{2} + 4) = -8. \] Перемножая результаты: \[ \frac{1}{2\sqrt{2}} \cdot (-8) = -\frac{8}{2\sqrt{2}} = -2\sqrt{2}. \] Ответ: $-2\sqrt{2}$.
   
   
2. Решите уравнение: \[ \frac{x^2 - 2x + 4}{x^3 - 2x^2 + 4x - 8} \;+\; \frac{x^2 + 2x + 4}{x^3 + 2x^2 + 4x + 8} \;=\; \frac{2x + 2}{x^2 - 4}. \] Решение:
   Разложим знаменатели левых дробей: \[ x^3 - 2x^2 + 4x - 8 = (x - 2)(x^2 + 4), \quad x^3 + 2x^2 + 4x + 8 = (x + 2)(x^2 + 4). \] Приведем уравнение к общему знаменателю $(x^2 - 4)(x^2 + 4)$: \[ \frac{(x^2 - 2x + 4)(x + 2) + (x^2 + 2x + 4)(x - 2)}{(x^2 - 4)(x^2 + 4)} = \frac{2x + 2}{x^2 - 4}. \] После преобразований числитель левой части равен $2x^3$, получим: \[ 2x^3 = (2x + 2)(x^2 + 4). \] Раскрываем правую часть и упрощаем: \[ 2x^3 = 2x^3 + 2x^2 + 8x + 8 \implies -2x^2 -8x -8 = 0 \implies x^2 +4x +4 =0 \implies (x+2)^2 =0. \] Решение $x=-2$ противоречит области определения.
   Ответ: Корней нет.
   
   
3. Два насоса наполняют бассейн за 3 часа 36 минут. Время наполнения первым насосом на 3 часа больше, чем вторым.
   Решение:
   Пусть первый насос наполняет бассейн за $x$ часов, второй — за $(x-3)$ часов.
   Совместная скорость: $\frac{1}{x} + \frac{1}{x-3} = \frac{1}{3.6}$. Решаем уравнение: \[ \frac{1}{x} + \frac{1}{x-3} = \frac{5}{18} \implies x =9, x-3=6. \] Ответ: Первый — 9 часов, второй — 6 часов.
   
   
4. Доказать неравенство $b(a^2 +1) +a(b^2 +1) \ge4ab$.
   Решение:
   Применим неравенство Коши к слагаемым: \[ b(a^2 +1) \ge 2ab, \quad a(b^2 +1) \ge 2ab. \] Сумма неравенств: \[ b(a^2 +1) +a(b^2 +1) \ge4ab. \] Равенство при $a=1$, $b=1$.
   
   
5. Геометрическая задача.
   Решение:
   Треугольники $PNL$ и $QNL$ подобны. Отношение площадей как квадрат отношения сторон: \[ \frac{S_{PQN}}{S_{PNL}} = \left(\frac{PN}{QL}\right)^2 = \frac{25}{16}. \] Ответ: $\frac{25}{16}$.
   
   
6. Игра Ладья: начальная позиция $a1$, цель $g7$.
   Решение: Побеждает второй игрок, симметрично повторяя ходы первого.
   Ответ: Второй игрок.
   
   
7. Доказать недостижимость города:
   Сумма степеней вершин не совпадает в предполагаемой компоненте связности города.
   Ответ: Город недостижим.