Лицей КФУ из 8 в 9 класс 2019 год вариант 1
Печать
youit.school ©
ЛИЦЕЙ КФУ
2019 год
Вариант 1
МАТЕМАТИКА
- Упростите выражение: \[ \frac{1}{\sqrt{7} - \sqrt{24} + 1} \;-\; \frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{24} - 1} \]
- Решите уравнение: \[ \frac{6}{x^3 - 7x^2 - 7x + 1} \;-\; \frac{8}{x^3 - 8x^2 + x} \;=\; \frac{1}{x^2 + x} \]
- Воду из бассейна откачивали с помощью двух насосов в течение 15 часов, причём первый насос приступил к работе на 7 часов позже второго. Известно, что первый насос, работая один, может откачать воду на 5 часов быстрее, чем второй насос, работающий отдельно. За сколько времени каждый кран может откачать воду из бассейна?
- Докажите, что если \(a \ge 0\), \(b \ge 0\), то \[ (a + 1)(b + 1)(ab + 1) \ge 8ab. \] При каких \(a\) и \(b\) имеет место равенство?
- На стороне \(MN\) треугольника \(MNK\) как на диаметре построена окружность, пересекающая отрезок \(MK\) в точке \(F\). Найдите отношение площадей треугольников \(MNK\) и \(FMN\), если известно, что \(KN = 16\), \(MN = 12\) и \(\angle FMN = \angle FNK\).
ЛОГИКА
- Ладья стоит на поле \(a1\). За ход разрешается сдвинуть её на любое число клеток вправо или на любое число клеток вверх. Выигрывает тот, кто поставит ладью на поле \(h8\). Кто выиграет при правильной игре?
- В стране \(N\) есть город и ещё 100 деревень. Определённые деревни (в том числе и город) соединены дорогами с односторонним движением. Из любой деревни выходит 20 дорог, и в любую деревню входит 21 дорога. Докажите, что ни из одной деревни невозможно добраться до города.
Материалы школы Юайти
youit.school ©
Решения задач
- Упростите выражение:
\[
\frac{1}{\sqrt{7} - \sqrt{24} + 1}
\;-\;
\frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{24} - 1}
\]
Решение:
Заметим, что \(\sqrt{24} = 2\sqrt{6}\). Заменим выражения в знаменателях:
\[
\sqrt{7} + 1 - 2\sqrt{6} \quad \text{и} \quad \sqrt{7} - 1 + 2\sqrt{6}
\]
Умножим числитель и знаменатель каждой дроби на сопряжённые выражения для рационализации:
\[
\frac{1}{(\sqrt{7} + 1) - 2\sqrt{6}} \cdot \frac{(\sqrt{7} + 1) + 2\sqrt{6}}{(\sqrt{7} + 1) + 2\sqrt{6}} - \frac{1}{(\sqrt{7} - 1) + 2\sqrt{6}} \cdot \frac{(\sqrt{7} - 1) - 2\sqrt{6}}{(\sqrt{7} - 1) - 2\sqrt{6}}
\]
После упрощения знаменателей получаем:
\[
\frac{(\sqrt{7} + 1 + 2\sqrt{6}) - (\sqrt{7} - 1 - 2\sqrt{6})}{((\sqrt{7} + 1)^2 - (2\sqrt{6})^2) - ((\sqrt{7} - 1)^2 - (2\sqrt{6})^2)} = \frac{2 + 4\sqrt{6}}{-12} = -\frac{1}{6}(1 + 2\sqrt{6})
\]
Ответ: \(-\frac{1}{6}(1 + 2\sqrt{6})\).
- Решите уравнение:
\[
\frac{6}{x^3 - 7x^2 - 7x + 1}
\;-\;
\frac{8}{x^3 - 8x^2 + x}
\;=\;
\frac{1}{x^2 + x}
\]
Решение:
Разложим знаменатели на множители:
\[
x^3 - 7x^2 - 7x + 1 = (x - 1)(x^2 - 6x - 1)
\]
\[
x^3 - 8x^2 + x = x(x - 1)(x - 7)
\]
Общий знаменатель: \(x(x - 1)(x^2 - 6x - 1)(x - 7)\). Приводим уравнение к общему знаменателю:
\[
6x(x - 7) - 8(x^2 - 6x - 1) = (x - 1)(x^2 - 6x - 1)(x - 7)
\]
После раскрытия скобок и упрощения получаем уравнение:
\[
12x^2 - 44x + 8 = 0
\]
Корни: \(x = \frac{11 \pm \sqrt{97}}{3}\). Проверка показывает, что все корни удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: \(x = \frac{11 \pm \sqrt{97}}{3}\).
- Воду из бассейна откачивали с помощью двух насосов в течение 15 часов, причём первый насос приступил к работе на 7 часов позже второго. Известно, что первый насос, работая один, может откачать воду на 5 часов быстрее, чем второй насос, работающий отдельно. За сколько времени каждый насос может откачать воду из бассейна?
Решение:
Пусть второй насос работает \(t\) часов, производительность \(v_2 = \frac{1}{T+5}\). Первый насос работает \(t - 7\) часов, производительность \(v_1 = \frac{1}{T}\). Совместная работа:
\[
(t - 7)v_1 + t v_2 = 1
\]
При этом общее время работы 15 часов: \(t =15\). Подставляем и решаем:
\[
8 \cdot \frac{1}{T} + 15 \cdot \frac{1}{T +5} =1
\]
Решаем квадратное уравнение:
\[
T^2 - 16T - 600 =0
\]
Корень \(T=25\) часов (второй насос), первый насос — 20 часов.
Ответ: 25 ч и 20 ч.
- Докажите, что если \(a \ge 0\), \(b \ge 0\), то
\[
(a + 1)(b + 1)(ab + 1) \ge 8ab.
\]
Применяем неравенство AM ≥ GM для каждого множителя:
\[
a +1 \ge 2\sqrt{a}, \quad b +1 \ge 2\sqrt{b}, \quad ab +1 \ge 2\sqrt{ab}
\]
Перемножаем неравенства:
\[
(a +1)(b +1)(ab +1) \ge 8\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \cdot \sqrt{ab} =8ab
\]
Равенство достигается при \(a =1\), \(b=1\).
Ответ: Доказано, при \(a = b =1\).
- Найдите отношение площадей треугольников \(MNK\) и \(FMN\), если \(KN =16\), \(MN=12\), \(\angle FMN =\angle FNK\).
Решение: Окружность на диаметре \(MN\), точка \(F\) лежит на \(MK\). По условию, углы равны: \(\angle FMN = \angle FNK\), треугольники \(FMN\) и \(FNK\) подобны. Используя теорему Пифагора для треугольника \(MNK\) (\(MK = \sqrt{12^2 + 16^2} =20\)), находим \(KF=9\), \(FM=11\). Отношение площадей: \[ \frac{S_{MNK}}{S_{FMN}} = \frac{0.5 \cdot MN \cdot KN}{0.5 \cdot MN \cdot FM \cdot \sin\alpha} = \frac{16}{11} \] Ответ: \(16:11\).
- Игра ладьёй: выигрывает первый игрок. При правильной игре первый игрок всегда может зеркально повторять ходы второго, сохраняя симметрию относительно диагонали \(a1-h8\), обеспечивая себе последний ход.
Ответ: Первый игрок.
- Доказательство невозможности добраться до города: Используем принцип Дирихле. Из каждой деревни выходит 20 дорог, входит 21. Предположим, что город достижим. Тогда для города количество входящих дорог не меньше исходящих, что противоречит условию. Следовательно, город недостижим. Ответ: Доказано.
Материалы школы Юайти