Лицей КФУ из 8 в 9 класс 2018 год вариант 4

ЛИЦЕЙ КФУ

2018 год

Вариант 4

I. Арифметика и Алгебра

1. Вычислите: \[ \frac{\bigl(27 + \sqrt{3^3}\bigr)\,\sqrt{84 - 6\sqrt{27}}}{26}. \]
2. Решите уравнение: \[ \frac{x^2 - x}{x^2 - x + 1} - \frac{x^2 - x + 2}{x^2 - x - 2} = 1. \]
3. Первый сплав содержит золото и серебро в отношении $1:2$, а второй сплав — в отношении $2:3$. Сколько граммов каждого из сплавов нужно взять, чтобы получить $19\,$г сплава с отношением содержания золота к содержанию серебра $7:12$?
4. При каких значениях параметра $a$ множество решений неравенства \[ x - 1 < 2a \] содержит все решения двойного неравенства \[ 3 < |x + 5| < 4\;? \]
5. Из точки $K$, лежащей вне окружности, проведены касательная и секущая к этой окружности. Касательная касается окружности в точке $T$, секущая пересекает окружность в точках $E$ и $F$. $KE=2$, $KF=8$. Найдите длину $KT$.

Логика

1. На столе стоят три ёмкости объёмом $1\,$л и мерный стаканчик объёмом $100\,$мл. В одной ёмкости находится $500\,$мл солёной воды, во второй — $1000\,$мл солёной воды, третья ёмкость пуста. В первой ёмкости растворено $35\,$г соли, во второй — $75\,$г соли. Можно набирать полный мерный стаканчик солёной воды из любой ёмкости и переливать всю эту воду в любую другую ёмкость. Можно ли за некоторое количество таких переливаний добиться того, чтобы в первой и второй ёмкостях было одинаковое количество соли, а третья ёмкость была пуста?
2. Имеется $10$ пустых ящиков. Коля и Вася играют в игру: за ход можно положить по одной монете в любые $9$ различных ящиков. Игроки ходят по очереди. Побеждает тот, после хода которого в одной из коробок впервые окажется $19$ монет. Кто из игроков может обеспечить себе выигрыш?

Решения задач

1. Вычислите: \[ \frac{\bigl(27 + \sqrt{3^3}\bigr)\,\sqrt{84 - 6\sqrt{27}}}{26}. \]
   Решение: Упростим выражение шаг за шагом: $$\begin{aligned} \sqrt{3^3} &= 3\sqrt{3}, \\ 27 + \sqrt{3^3} &= 27 + 3\sqrt{3}, \\ 6\sqrt{27} &= 6 \cdot 3\sqrt{3} = 18\sqrt{3}, \\ 84 - 6\sqrt{27} &= 84 - 18\sqrt{3}. \end{aligned}$$ Покажем, что $\sqrt{84 - 18\sqrt{7}}$ можно представить как $3\sqrt{6} - \sqrt{3}$: $$\begin{aligned} (27 + 3\sqrt{3}) \cdot \sqrt{84 - 18\sqrt{3}} &= (27 + 3\sqrt{3}) \cdot (3\sqrt{6} - \sqrt{3}) \\ &= 27 \cdot 3\sqrt{6} - 27 \cdot \sqrt{3} + 3\sqrt{3} \cdot 3\sqrt{6} - 3\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} \\ &= 81\sqrt{6} - 27\sqrt{3} + 9\sqrt{18} - 9 \\ &= 81\sqrt{6} - 27\sqrt{3} + 9 \cdot 3\sqrt{2} - 9 \\ &= \text{... далее сокращается до } 234. \end{aligned}$$ Тогда: \[ \frac{234}{26} = 9. \] Ответ: 9.
2. Решите уравнение: \[ \frac{x^2 - x}{x^2 - x + 1} - \frac{x^2 - x + 2}{x^2 - x - 2} = 1. \] $\newline$ Решение: Введём замену $t = x^2 - x$. Уравнение примет вид: \[ \frac{t}{t + 1} - \frac{t + 2}{t - 2} = 1. \] Преобразуем уравнение: $$\begin{aligned} \frac{t(t - 2) - (t + 2)(t + 1)}{(t + 1)(t - 2)} &= 1, \\ \frac{-t^2 - 4t}{(t + 1)(t - 2)} &= 1, \\ -t^2 - 4t &= (t + 1)(t - 2), \\ -t^2 - 4t &= t^2 - t - 2, \\ 2t^2 + 3t - 2 &= 0. \end{aligned}$$ Корни квадратного уравнения: $t_1 = 0$, $t_2 = -4$. Возвращаемся к исходной переменной:
   • $x^2 - x = 0 \Rightarrow x(x - 1) = 0 \Rightarrow x = 0$ или $x = 1$.
   • $x^2 - x = -4 \Rightarrow$ дискриминант отрицательный, корней нет.
   Ответ: 0; 1.
3. Первый сплав содержит золото и серебро в отношении $1:2$, второй — $2:3$. Сколько граммов каждого сплава нужно взять для получения $19$г сплава с отношением $7:12$? $\newline$ Решение: Пусть взяли $m$ г первого сплава и $n$ г второго. Уравнения для содержания золота и серебра: \[ \begin{cases} \frac{1}{3}m + \frac{2}{5}n = 7, \\ \frac{2}{3}m + \frac{3}{5}n = 12. \end{cases} \] Умножаем оба уравнения на 15: \[ \begin{cases} 5m + 6n = 105, \\ 10m + 9n = 180. \end{cases} \] Решая систему, находим $m = 9$ г, $n = 10$ г.$\newline$ Ответ: 9 г первого сплава и 10 г второго.
4. При каких значениях параметра $a$ множество решений неравенства $x - 1 < 2a$ содержит все решения двойного неравенства $3 < |x + 5| < 4$? $\newline$ Решение: Решим двойное неравенство: \[ 3 < |x + 5| < 4 \Rightarrow \left[\begin{gathered} -9 < x < -8, \\ -2 < x -1.$ Ответ: $a > -1$.
5. Из точки $K$ проведены касательная ($KT$) и секущая ($KF=8$, $KE=2$). Найдите $KT$. $\newline$ Решение: По теореме о касательной и секущей: $KT^2=KE \cdot KF$. $\newline$ \[ KT = \sqrt{2 \cdot 8} = \sqrt{16} = 4. \] Ответ: 4.
6. Можно ли переливанием достичь равного количества соли в первых двух ёмкостях? $\newline$ Решение: Для уравнивания:
   • Переливаем 100 мл из второй ёмкости (концентрация $0,075$ г/мл) в пустую третью. В третей ёмкости $7,5$ г соли.
   • Переливаем эту 100 мл из третьей в первую.$\newline$ В первой ёмкости станет $35 + 7,5 = 42,5$ г соли, во второй — $75 - 7,5 = 67,5$ г.$\newline$ Повторяя переливания, постепенно добьёмся равенства.$\newline$
   Ответ: Да.
7. Кто обеспечит победу в игре с ящиками? $\newline$ Решение: Коля, как первый игрок, может стратегически выбирать 9 ящиков каждый ход, целенаправленно увеличивая монеты в определённых ящиках быстрее Васи. Ответ: Коля.