Лицей КФУ из 8 в 9 класс 2018 год вариант 3

ЛИЦЕЙ КФУ

2018 год

Вариант 3

I. Арифметика и Алгебра

1. Вычислите: \[ \frac{\bigl(40 + \sqrt{2^5}\bigr)\,\sqrt{102 - 10\sqrt{8}}}{49}. \]
2. Решите уравнение: \[ \frac{x^2 + 2x + 1}{x^2 + 2x + 2} + \frac{x^2 + 2x + 2}{x^2 + 2x + 3} = \frac{7}{6}. \]
3. Первый сплав содержит золото и серебро в отношении $2:3$, а второй сплав — в отношении $1:6$. Сколько граммов каждого из сплавов нужно взять, чтобы получить $33\,$г сплава с отношением содержания золота к содержанию серебра $2:9$?
4. При каких значениях параметра $a$ множество решений неравенства \[ x + 4 > 2a \] содержит все решения двойного неравенства \[ 4 < |x + 3| < 5\;? \]
5. Из точки $K$, лежащей вне окружности, проведены касательная и секущая к этой окружности. Касательная касается окружности в точке $T$, секущая пересекает окружность в точках $E$ и $F$. $KT=6$, $KE=9$. Найдите длину $KF$.

Логика

1. На столе стоят три ёмкости объёмом $1\,$л и мерный стаканчик объёмом $100\,$мл. В одной ёмкости находится $1000\,$мл солёной воды, во второй — $500\,$мл солёной воды, третья ёмкость пуста. В первой ёмкости растворено $75\,$г соли, во второй — $35\,$г соли. Можно набирать полный мерный стаканчик солёной воды из любой ёмкости и переливать всю эту воду в любую другую ёмкость. Можно ли за некоторое количество таких переливаний добиться того, чтобы в первой и второй ёмкостях было одинаковое количество соли, а третья ёмкость была пуста?
2. Имеется $11$ пустых ящиков. Коля и Вася играют в игру: за ход можно положить по одной монете в любые $10$ различных ящиков. Игроки ходят по очереди. Побеждает тот, после хода которого в одном из ящиков впервые окажется $21$ монета. Кто из игроков может обеспечить себе выигрыш?

Решения задач

1. Вычислите: \[ \frac{\bigl(40 + \sqrt{2^5}\bigr)\,\sqrt{102 - 10\sqrt{8}}}{49}. \]
   Решение: \[ \sqrt{2^5} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}, \quad 40 + 4\sqrt{2} \] Подкоренное выражение: \[ 102 - 10\sqrt{8} = 102 - 20\sqrt{2} = (10 - \sqrt{2})^2 \] Подставляем: \[ (40 + 4\sqrt{2})(10 - \sqrt{2}) = 400 - 8 = 392 \] \[ \frac{392}{49} = 8 \] Ответ: 8.
   
   
2. Решите уравнение: \[ \frac{x^2 + 2x + 1}{x^2 + 2x + 2} + \frac{x^2 + 2x + 2}{x^2 + 2x + 3} = \frac{7}{6}. \]
   Решение: Замена \( y = x^2 + 2x + 1 \): \[ \frac{y}{y + 1} + \frac{y + 1}{y + 2} = \frac{7}{6} \] Общий знаменатель: \[ \frac{2y^2 + 2y + 1}{y^2 + 3y + 2} = \frac{7}{6} \implies 5y^2 -7y -6=0 \] Корни: \( y = 2 \). Возвращаемся к \( x \): \[ (x+1)^2 = 1 \implies x = 0 \text{ или } x = -2 \] Ответ: \( x = 0 \), \( x = -2 \).
   
   
3. Первый сплав содержит золото и серебро в отношении \(2:3\), второй — \(1:6\). Нужно получить 33 г сплава с отношением \(2:9\).
   Решение: Пусть масс первого сплава \(x\) г, второго \(y\) г. Система: \[ \begin{cases} x + y = 33 \\ \frac{2}{5}x + \frac{1}{7}y = 6 \end{cases} \] Решение: \[ 14x + 5y = 210 \implies x = 5 \text{ г}, \quad y = 28 \text{ г} \] Ответ: 5 г первого сплава, 28 г второго.
   
   
4. При каких \(a\) множество решений \(x + 4 > 2a\) содержит все решения \(4 < |x + 3| < 5\)?
   Решение: Решения двойного неравенства: \[ x \in (-8, -7) \cup (1, 2) \] Условие: \[ 2a -4 \leq -8 \implies a \leq -2 \] Ответ: \(a \leq -2\).
   
   
5. Геометрическая задача. \(KT = 6\), \(KE = 9\). Найти \(KF\).
   Решение: Теорема о касательной и секущей: \[ KT^2 = KE \cdot KF \implies 6^2 = 9 \cdot KF \implies KF = 4 \] Ответ: 4.
   
   
6. Логическая задача с переливанием.
   Решение: Суммарно 110 г соли. Необходимо получить по 55 г. После расчётов: Невозможно из-за нецелых количеств переносов. Ответ: Нельзя.
   
   
7. Игра с ящиками.
   Решение: Первый игрок может контролировать добавление в целевой ящик, опережая противника. Ответ: Первый игрок (Коля).