Лицей КФУ из 8 в 9 класс 2018 год вариант 2
Печать
youit.school ©
ЛИЦЕЙ КФУ
2018 год
Вариант 2
I. Арифметика и Алгебра
- Вычислите: \[ \frac{\bigl(36 + \sqrt{2^5}\bigr)\,\sqrt{83 - 6\sqrt{18}}}{79}. \]
- Решите уравнение: \[ \frac{x^2 + x + 4}{x^2 + x + 1} \;+\; \frac{x^2 + x + 3}{x^2 + x - 1} \;=\;1. \]
- Первый сплав содержит золото и серебро в отношении $1:5$, а второй сплав — в отношении $2:3$. Сколько граммов каждого из сплавов нужно взять, чтобы получить $77\,$г сплава с отношением содержания золота к содержанию серебра $4:7$?
- При каких значениях параметра $a$ множество решений неравенства \[ x - 4 < 2a \] содержит все решения двойного неравенства \[ 4 < |x - 3| < 5\;? \]
- Из точки $K$, лежащей вне окружности, проведены касательная и секущая к этой окружности. Касательная касается окружности в точке $T$, секущая пересекает окружность в точках $E$ и $F$. $KT=4$, $KF=2$. Найдите длину $KE$.
Логика
- На столе стоят три ёмкости объёмом $1\,$л и мерный стаканчик объёмом $100\,$мл. В одной ёмкости находится $800\,$мл солёной воды, во второй — $700\,$мл солёной воды, третья ёмкость пуста. В первой ёмкости растворено $60\,$г соли, во второй — $50\,$г соли. Можно набирать полный мерный стаканчик солёной воды из любой ёмкости и переливать всю эту воду в любую другую ёмкость. Можно ли за некоторое количество таких переливаний добиться того, чтобы в первой и второй ёмкостях было одинаковое количество соли, а третья ёмкость была пуста?
- Имеется $12$ пустых ящиков. Коля и Вася играют в игру: за ход можно положить по одной монете в любые $11$ различных ящиков. Игроки ходят по очереди. Побеждает тот, после хода которого в одном из ящиков впервые окажется $23$ монеты. Кто из игроков может обеспечить себе выигрыш?
Материалы школы Юайти
youit.school ©
Решения задач
- Вычислите:
\[
\frac{\bigl(36 + \sqrt{2^5}\bigr)\,\sqrt{83 - 6\sqrt{18}}}{79}.
\]
Решение:
\[
\sqrt{2^5} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}, \quad 36 + 4\sqrt{2}.
\]
Упрощаем выражение под вторым корнем:
\[
83 - 6\sqrt{18} = 83 - 18\sqrt{2}.
\]
Представим как квадрат разности:
\[
\sqrt{(9 - \sqrt{2})^2} = 9 - \sqrt{2}.
\]
Подставляем в числитель:
\[
(36 + 4\sqrt{2})(9 - \sqrt{2}) = 36 \cdot 9 - 36\sqrt{2} + 36\sqrt{2} - 4 \cdot 2 = 316.
\]
Окончательно:
\[
\frac{316}{79} = 4.
\]
Ответ: 4.
- Решите уравнение:
\[
\frac{x^2 + x + 4}{x^2 + x + 1} \;+\;
\frac{x^2 + x + 3}{x^2 + x - 1}
\;=\;1.
\]
Решение: Замена \( y = x^2 + x + 1 \):
\[
\frac{y + 3}{y} + \frac{y + 2}{y - 2} = 1.
\]
Приводим к общему знаменателю:
\[
(y + 3)(y - 2) + (y + 2)y = y(y - 2).
\]
Раскрываем скобки:
\[
y^2 + 5y - 6 = 0 \quad \Rightarrow \quad y_{1}=1,\, y_{2}=-6.
\]
Возвращаемся к \( x \):
\[
x^2 + x + 1 = 1 \quad \Rightarrow \quad x(x+1)=0 \quad \Rightarrow \quad x=0,\, x=-1.
\]
Ответ: \( x = 0 \), \( x = -1 \).
- Первый сплав содержит золото и серебро в отношении \( 1:5 \), второй – \( 2:3 \). Требуется получить \( 77\,\)г сплава с отношением \( 4:7 \).
Решение: Пусть масса первого сплава \( x \) г, второго \( y \) г:
\[
x + y = 77, \quad \frac{\frac{x}{6} + \frac{2y}{5}}{\frac{5x}{6} + \frac{3y}{5}} = \frac{4}{7}.
\]
Упрощаем:
\[
7\left(\frac{x}{6} + \frac{2y}{5}\right) = 4\left(\frac{5x}{6} + \frac{3y}{5}\right),
\]
\[
12y = 65x \quad \Rightarrow \quad y = \frac{65}{12}x.
\]
Подставляем в \( x + y = 77 \):
\[
x = 12\, г, \quad y = 65\, г.
\]
Ответ: \( 12\,\)г и \( 65\,\)г.
- Найти \( a \), при которых решение \( x - 4 < 2a \) содержит все решения \( 4 < |x - 3| < 5 \).
Решение:
\[
4 < |x - 3| < 5 \quad \Rightarrow \quad x \in (-2, -1) \cup (7, 8).
\]
Чтобы \( x - 4 < 2a \) покрывало этот интервал:
\[
8 2.
\]
Ответ: \( a > 2 \).
- Геометрическая задача с касательной и секущей. Дано: \( KT = 4 \), \( KF = 2 \). Найти \( KE \).
Решение: По теореме о секущей и касательной:
\[
KE \cdot KF = KT^2 \quad \Rightarrow \quad KE = \frac{KT^2}{KF} = \frac{16}{2} = 8.
\]
Ответ: 8.
- Задача с переливанием. Изначально: 60 г и 50 г соли. Чтобы добиться равенства концентраций:
\[
\frac{60 - 7.5x}{800 - 100x} = \frac{50 + 7.5x}{700 + 100x}.
\]
Решение приводит к невозможности целых \( x \).
Ответ: Невозможно.
- Игра с ящиками. Коля ходит первым, добавляя по 11 монет за ход. Стратегия: контроль чётности. Ответ: Коля может обеспечить победу.
Материалы школы Юайти