Лицей КФУ из 8 в 9 класс 2018 год вариант 1

ЛИЦЕЙ КФУ

2018 год

Вариант 1

I. Арифметика и Алгебра

1. Вычислите: \[ \frac{(24 + \sqrt{6^3})\sqrt{22 - 4\sqrt{24}}}{12}. \]
2. Решите уравнение: \[ \frac{x^2 - 4x + 5}{x^2 - 4x + 4} - \frac{x^2 - 4x + 3}{x^2 - 4x + 6} = \frac{3}{4}. \]
3. Первый сплав содержит золото и серебро в отношении $1:4$, а второй сплав — в отношении $3:5$. Сколько граммов каждого из сплавов нужно взять, чтобы получить $35\,$г сплава с отношением содержания золота к содержанию серебра $9:16$?
4. При каких значениях параметра $a$ множество решений неравенства \[ x - 1 > 4a \] содержит все решения двойного неравенства \[ 3 < |x - 5| < 4\;? \]
5. Из точки $K$, лежащей вне окружности, проведены касательная и секущая к этой окружности. Касательная касается окружности в точке $T$, секущая пересекает окружность в точках $E$ и $F$. $KE=4$, $KF=9$. Найдите длину $KT$.

Логика

1. На столе стоят три ёмкости объёмом $1\,$л и мерный стаканчик объёмом $100\,$мл. В одной ёмкости находится $700\,$мл солёной воды, во второй $800\,$мл солёной воды, третья ёмкость пуста. В первой ёмкости растворено $50\,$г соли, во второй — $60\,$г соли. Можно набирать полный мерный стаканчик солёной воды из любой ёмкости и переливать всю эту воду в любую другую ёмкость. Можно ли за некоторое количество таких переливаний добиться того, чтобы в первой и второй ёмкостях было одинаковое количество соли, а третья ёмкость была пуста?
2. Имеется 13 пустых ящиков. Коля и Вася играют в игру: за ход можно положить по одной монете в какие‑то 12 различных ящиков. Игроки ходят по очереди. Побеждает тот, после хода которого в одном из ящиков впервые окажется 25 монет. Кто из игроков может обеспечить себе выигрыш?

Решения задач

1. Вычислите: \[ \frac{(24 + \sqrt{6^3})\sqrt{22 - 4\sqrt{24}}}{12}. \]
   Решение: Упростим выражение по частям. \[ \sqrt{6^3} = 6\sqrt{6}, \quad \sqrt{24} = 2\sqrt{6}, \quad 4\sqrt{24}=8\sqrt{6}. \] Разложим выражение под корнем: \[ 22 - 8\sqrt{6} = (4 - \sqrt{6})^2 \Rightarrow \sqrt{22 -8\sqrt{6}}=4 - \sqrt{6}. \] Подставляем: \[ \frac{(24 + 6\sqrt{6})(4 - \sqrt{6})}{12} = \frac{24 \cdot4 -24\sqrt{6} +24\sqrt{6} -6 \cdot6}{12} = \frac{96 -36}{12} = 5. \] Ответ: 5.
   
   
2. Решите уравнение: \[ \frac{x^2 - 4x + 5}{x^2 - 4x + 4} - \frac{x^2 - 4x + 3}{x^2 - 4x + 6} = \frac{3}{4}. \]
   Решение: Замена переменной \( y = x^2 -4x \). \[ \frac{y +5}{y +4} - \frac{y +3}{y +6} = \frac{3}{4}. \] Упрощая числитель: \[ \frac{4(y + 18)}{(y +4)(y +6)} = \frac{3}{4} \Rightarrow 16(y + 18) = 3(y +4)(y +6). \] Решая квадратное уравнение, находим \( y =0 \) и \( y =-\frac{14}{3} \). Возвращаемся к исходной переменной: \[ x^2 -4x =0 \Rightarrow x=0;\ x=4. \] Ответ: \( 0; 4 \).
   
   
3. Первый сплав содержит золото и серебро в отношении \(1:4\), второй — \(3:5\). Сколько граммов каждого сплава нужно взять, чтобы получить 35 г с отношением золота к серебру \(9:16\)?
   Решение: Пусть \( x \) г первого сплава и \( y \) г второго. \[ \begin{cases} x + y =35 \\ \frac{1}{5}x + \frac{3}{8}y = \frac{9}{25} \cdot35 \end{cases} \] Решая систему, получаем \( x =3 \) г, \( y =32 \) г. Ответ: \(3\) г и \(32\) г.
   
   
4. При каких \( a \) множество решений \( x -1 >4a \) содержит все решения \( 3 < |x -5| <4 \).
   Решение: Решения двойного неравенства: \( x \in(1,2) \cup(8,9) \). Уравнение \( x >1 +4a \) должно содержать эти интервалы: \[ 4a +1 \leq1 \Rightarrow a \leq0. \] Ответ: \( a \leq0 \).
   
   
5. Найти длину \( KT \), если \( KE=4 \), \( KF=9 \).
   Решение: По теореме о касательной и секущей: \[ KT^2 = KE \cdot KF =4 \cdot9=36 \Rightarrow KT=6. \] Ответ: 6.
   
   
6. Можно ли уравнять количество соли в первых двух ёмкостях?
   Решение: Общее количество соли \(50 +60=110\) г. Для равенства нужно по \(55\) г в каждой ёмкости. Рассмотрим операции переливания: Переливая \(100\) мл из ёмкости с большей концентрацией в ёмкость с меньшей, можно приблизить их к равенству. Рассчитав объёмы и концентрации, приходим к выводу, что распределить соль поровну невозможно из-за ограничений на объём мисок. Ответ: Нет.
   
   
7. Кто выигрывает в игре с ящиками?
   Решение: Коля, как первый игрок, может стратегически заполнять ящики так, чтобы гарантировать себе завершающий ход, приведший к \(25\) монетам. Ответ: Коля.