Лицей КФУ из 8 в 9 класс 2017 год вариант 2

ЛИЦЕЙ КФУ

2017 год

Вариант 2

1. Вычислите: \[ (2\sqrt{50}-3\sqrt{72}) \Bigl(\sqrt{\overline{4\frac{1}{2}}}-1\Bigr) +4\sqrt{17-12\sqrt{2}}. \]
2. Решите уравнение: \[ 5\sqrt{x(x+4)} + 4 + x = 16. \]
3. Первая труба пропускает на 10 литров воды в минуту меньше, чем вторая труба. Сколько литров в минуту пропускает первая труба, если резервуар объёмом 240 литров она заполняет на 2 минуты дольше, чем вторая труба?
4. Известно, что \[ -5 < 4 - 3x < x + 1 < 2y - 5 < 6 + y. \] Какому промежутку принадлежат все возможные значения выражения \(2x - y\)?
5. На сторонах \(BC\) и \(CD\) параллелограмма \(ABCD\) взяты точки \(M\) и \(N\), соответственно. \(BM:MC = 1:2\), \(CN:ND = 2:5\). Найдите отношение площади треугольника \(AMN\) к площади параллелограмма.
6. На плоскости даны 9 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Два игрока по очереди проводят по одному отрезку с концами в этих точках (из каждой точки может выходить произвольное количество отрезков, но каждые две точки можно соединить только один раз). Выигрывает тот игрок, после хода которого из каждой точки выходит хотя бы один отрезок. Кто может обеспечить себе выигрыш в этой игре — тот, кто начинает, или его соперник?
7. На доске написаны числа \(\sqrt{2}\) и \(\sqrt{7}\). Разрешается дописывать на доску сумму, разность или произведение уже написанных чисел. Можно ли такими операциями получить число 1?

Решения задач

1. Вычислите: \[ (2\sqrt{50}-3\sqrt{72}) \Bigl(\sqrt{4\frac{1}{2}}-1\Bigr) +4\sqrt{17-12\sqrt{2}}. \]
   Решение: \[ \sqrt{50} = 5\sqrt{2},\ \sqrt{72} = 6\sqrt{2} \Rightarrow 2\sqrt{50} - 3\sqrt{72} = 10\sqrt{2} - 18\sqrt{2} = -8\sqrt{2}. \] \[ \sqrt{4\frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{9}{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2} \Rightarrow \frac{3\sqrt{2}}{2} - 1. \] Умножение скобок: \[ -8\sqrt{2} \left(\frac{3\sqrt{2}}{2} - 1\right) = -8\sqrt{2} \cdot \frac{3\sqrt{2}}{2} + 8\sqrt{2} = -24 + 8\sqrt{2}. \] Упростим последний член: \[ 4\sqrt{17 - 12\sqrt{2}} = 4\sqrt{(3 - 2\sqrt{2})^2} = 4(3 - 2\sqrt{2}) = 12 - 8\sqrt{2}. \] Итог: \[ (-24 + 8\sqrt{2}) + (12 - 8\sqrt{2}) = -12. \] Ответ: \(-12\).
2. Решите уравнение: \[ 5\sqrt{x(x+4)} + 4 + x = 16. \]
   Решение: Перенесем \(4 + x\): \[ 5\sqrt{x^2 + 4x} = 12 - x. \] Возведем в квадрат: \[ 25(x^2 + 4x) = (12 - x)^2 \Rightarrow 25x^2 + 100x = 144 - 24x + x^2. \] Упростим: \[ 24x^2 + 124x - 144 = 0 \Rightarrow 6x^2 + 31x - 36 = 0. \] Дискриминант: \[ D = 31^2 + 4 \cdot 6 \cdot 36 = 1825 \Rightarrow x = \frac{-31 \pm 5\sqrt{73}}{12}. \] Проверка показывает оба корня удовлетворяют уравнению.
   Ответ: \(x = \frac{-31 \pm 5\sqrt{73}}{12}\).
3. Первая труба пропускает \(x\) л/мин, вторая — \(x + 10\). Уравнение: \[ \frac{240}{x} - \frac{240}{x + 10} = 2 \Rightarrow 240 \cdot 10 = 2x(x + 10) \Rightarrow x^2 + 10x - 1200 = 0. \] Корни: \[ x = 30\ (\text{л/мин}). \] Ответ: \(30\) л/мин.
4. Из неравенств: \(-5 < 4 - 3x < x + 1 < 2y - 5 < 6 + y\) Находим \(x \in (0{,}75;\ 3)\), \(y \in \left(\frac{x + 6}{2};\ 11\right)\). Выражение \(2x - y\): \[ 2x - y \in (-9{,}5;\ 1{,}5). \] Ответ: \((-9{,}5;\ 1{,}5)\).
5. Координаты точек: \(M(a, \frac{b}{3})\), \(N\left(\frac{5a}{7}, b\right)\). Площадь треугольника \(AMN\): \[ S_{AMN} = \frac{8ab}{21},\ \text{площадь параллелограмма } ab \Rightarrow \frac{8}{21}. \] Ответ: \(\frac{8}{21}\).
6. Первый игрок может обеспечить выигрыш, завершая покрытие всех точек на своем ходе.
   Ответ: начинает выигрывает.
7. Получить число \(1\) невозможно, так как комбинации \(\sqrt{2}\) и \(\sqrt{7}\) операциями суммы, разности, произведения не дают целых или рациональных чисел, кратных 1.
   Ответ: нельзя.