Лицей КФУ из 8 в 9 класс 2017 год вариант 1

ЛИЦЕЙ КФУ

2017 год

Вариант 1

1. Вычислите: \[ \bigl(2\sqrt{20}-3\sqrt{45}\bigr) \Bigl(\sqrt{\overline{3\frac{1}{5}}}-1\Bigr) +5\sqrt{14-6\sqrt{5}}. \]
2. Решите уравнение: \[ 3\sqrt{x(x-4)} + 4 + 2x = 8. \]
3. Первая труба пропускает на 5 литров воды в минуту меньше, чем вторая труба. Сколько литров в минуту пропускает первая труба, если резервуар объёмом 150 литров она заполняет на 1 минуту дольше, чем вторая труба?
4. Известно, что \[ -4 < 3x - 1 < x + 5\sqrt{3} < 7 - 2y < 4 + y. \] Какому промежутку принадлежат все возможные значения выражения \(2y - x\)?
5. На сторонах \(BC\) и \(CD\) параллелограмма \(ABCD\) взяты точки \(K\) и \(L\), соответственно. \(BK:KC = 2:3\), \(CL:LD = 4:1\). Найдите отношение площади треугольника \(AKL\) к площади параллелограмма.
6. На плоскости даны 8 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Два игрока по очереди проводят по одному отрезку с концами в этих точках (из каждой точки может выходить произвольное количество отрезков, но каждые две точки можно соединить только один раз). Выигрывает тот игрок, после хода которого из каждой точки выходит хотя бы один отрезок. Кто может обеспечить себе выигрыш в этой игре — тот, кто начинает, или его соперник?
7. На доске написаны числа \(\sqrt{3}\) и \(\sqrt{5}\). Разрешается дописывать на доску сумму, разность или произведение уже написанных чисел. Можно ли такими операциями получить число 1?

Решения задач

1. Вычислите: \[ \bigl(2\sqrt{20}-3\sqrt{45}\bigr) \Bigl(\sqrt{3\frac{1}{5}} -1\Bigr) +5\sqrt{14-6\sqrt{5}}. \] Решение: \[ 2\sqrt{20} = 2 \cdot 2\sqrt{5} = 4\sqrt{5}, \quad 3\sqrt{45} = 3 \cdot 3\sqrt{5} = 9\sqrt{5} \implies 2\sqrt{20} -3\sqrt{45} = -5\sqrt{5}. \] \[ \sqrt{3\frac{1}{5}} = \sqrt{\frac{16}{5}} = \frac{4\sqrt{5}}{5} \implies \frac{4\sqrt{5}}{5} -1 = \frac{4\sqrt{5} -5}{5}. \] \[ (-5\sqrt{5}) \cdot \frac{4\sqrt{5} -5}{5} = -\sqrt{5}(4\sqrt{5} -5) = -20 +5\sqrt{5}. \] \[ 5\sqrt{14-6\sqrt{5}} = 5\sqrt{(3-\sqrt{5})^2} = 5(3-\sqrt{5}) =15 -5\sqrt{5}. \] \[ (-20 +5\sqrt{5}) + (15 -5\sqrt{5}) = -5. \] Ответ: \(-5\).
   
   
2. Решите уравнение: \[ 3\sqrt{x(x-4)} +4 +2x =8. \] Решение: \[ 3\sqrt{x^2 -4x} =4 -2x \implies 9(x^2 -4x) = (4-2x)^2 \implies 5x^2 -20x -16 =0. \] \[ D=720, \quad x = \frac{20 \pm12\sqrt{5}}{10} = \frac{10 \pm6\sqrt{5}}{5}. \] Подходит \(x = \frac{10 -6\sqrt{5}}{5}\). Ответ: \(\frac{10 -6\sqrt{5}}{5}\).
   
   
3. Первая труба пропускает \(x\) л/мин. Разница во времени заполнения: \[ \frac{150}{x} - \frac{150}{x+5} =1 \implies 750 =x^2 +5x \implies x=25. \] Ответ: \(25\) л/мин.
   
   
4. Известно: \[ -4 <3x -1 <x +5\sqrt{3} <7 -2y <4 +y. \] Решение: \[ 7 -2y 1; \quad x +5\sqrt{3} 5\sqrt{3} -7. \] Ответ: промежуток \((5\sqrt{3} -7; +\infty)\).
   
   
5. Площадь треугольника \(AKL\): \[ K(5,2h/5), \quad L(1,h) \] Площадь: \[ \frac{1}{2}|5h -\frac{2h}{5}| = \frac{23h}{10}, \quad \frac{23h}{10} :5h =\frac{23}{50}. \] Ответ: \(\frac{23}{50}\).
   
   
6. Логическая задача: второй игрок вынуждает победу своим четвертым ходом. Ответ: второй игрок.
   
   
7. Получить число \(1\): \[ \sqrt{15} = \sqrt{3} \cdot\sqrt{5}, \quad \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}} =1. \] Ответ: да, можно.