Лицей КФУ из 8 в 9 класс 2014 год вариант 8.1

ЛИЦЕЙ КФУ

2014 год

Вариант 8.1

1. Решите систему неравенств: $$ \left\{\begin{array}{c} (x+2)(2-x)<(x+3)(4-x) \\ \frac{5+x}{4}-\frac{2 x-1}{6} \geq 1 \end{array}\right. $$
   1. $x \leq-8$
   2. $-5 \leq x<8$
   3. $-8<x \leq 5$
   4. $x \geq 5$
2. Выполнить указанные действия: $(2-\sqrt{3})^{2}(7+4 \sqrt{3})+3 \sqrt{12 \frac{1}{4}}$
   1. 11,5
   2. 10,5
   3. 6,25
   4. 4,5
3. Два экскаватора вырыли траншею за 20 ч. За сколько часов выполнил бы эту работу каждый экскаватор, работая отдельно, если известно, что первому для этого необходимо на 9 ч больше, чем второму?
   1. 54 и 45
   2. 14 и 5
   3. 36 и 27
   4. 45 и 36
4. Решить графическое уравнение $\frac{2}{x}=\sqrt{x-1} .$ В ответе нарисовать графики и записать корень уравнения.
   1. 1
   2. 4
   3. 2
   4. 1,5
5. Основания прямоугольной трапеции равны 6 и $8 .$ Один из углов при меньшем основании равен $120^{\circ} .$ Найдите диагонали трапеции. \\ \\ Часть 2. логика
6. Как разложить 8 монет в нентры клеток доски 4 х4, чтобы ни на какой прямой не лежали 3 монеты (монеты считать точечными)?
7. Александр. Борис и Виктор решили 100 задач, причем каждый из них решил 60 задач. Назовем задачу «трудной», если ее решил только один из мальчиков, и «легкой», если ее решили все три мальчика. Докажите, что "трудных» задач на 20 больше, чем "легких).

1. 3
2. 1
3. 4
4. 3
5. $2 \sqrt{1} 9 ; 4 \sqrt{3}$
6. вместе по две на каждой строке
7. чтд

Решения задач

1. Решите систему неравенств: $ \left\{\begin{array}{c} (x+2)(2-x)<(x+3)(4-x) \\ \frac{5+x}{4}-\frac{2 x-1}{6} \geq 1 \end{array}\right. $
   Решение:
   Первое неравенство:
   $(x+2)(2-x) = -x^2 + 4$, $(x+3)(4-x) = -x^2 + x + 12$
   $-x^2 + 4 < -x^2 + x + 12 \quad \Rightarrow \quad -x -8 -8$
   Второе неравенство:
   $\frac{5+x}{4} - \frac{2x-1}{6} \geq 1 \quad \Rightarrow \quad 3(5+x) - 2(2x-1) \geq 12 \quad \Rightarrow \quad -x +17 \geq 12 \quad \Rightarrow \quad x \leq 5$
   Пересечение решений: $-8 < x \leq 5$
   Ответ: 3.
   
   
2. Выполнить указанные действия: $(2-\sqrt{3})^{2}(7+4 \sqrt{3})+3 \sqrt{12 \frac{1}{4}}$
   Решение:
   $(2-\sqrt{3})^2 = 4 -4\sqrt{3} +3 =7 -4\sqrt{3}$
   $(7 -4\sqrt{3})(7 +4\sqrt{3}) = 7^2 - (4\sqrt{3})^2 =49 -48 =1$
   $\sqrt{12\frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{49}{4}} = \frac{7}{2}$
   $3 \cdot \frac{7}{2} = 10,5$
   $1 + 10,5 = 11,5$
   Ответ: 1.
   
   
3. Два экскаватора вырыли траншею за 20 ч. За сколько часов выполнил бы эту работу каждый экскаватор, работая отдельно, если известно, что первому для этого необходимо на 9 ч больше, чем второму?
   Решение:
   Пусть второй экскаватор работает $x$ часов, тогда первый — $x+9$ часов.
   $\frac{1}{x} + \frac{1}{x+9} = \frac{1}{20}$
   $\frac{2x+9}{x(x+9)} = \frac{1}{20} \quad \Rightarrow \quad x^2 -31x -180 =0$
   Дискриминант: $D = 31^2 +720 = 1681 =41^2$
   Корни: $x = \frac{31 \pm41}{2} \quad \Rightarrow \quad x=36$ (второй корень отрицательный)
   Первый экскаватор: $36+9=45$ часов
   Ответ: 4.
   
   
4. Решить графическое уравнение $\frac{2}{x}=\sqrt{x-1}$
   Решение:
   Область определения: $x >1$
   Возведем в квадрат: $\frac{4}{x^2} =x-1 \quad \Rightarrow \quad x^3 -x^2 -4=0$
   Подбор корня: $x=2$ ($8-4-4=0$)
   Проверка: $\frac{2}{2}=1$, $\sqrt{2-1}=1$ — верно
   Ответ: 3.
   
   
5. Основания прямоугольной трапеции равны 6 и 8. Один из углов при меньшем основании равен $120^{\circ}$. Найдите диагонали трапеции.
   Решение:
   Пусть $AD=8$, $BC=6$, $\angle BAD=120^{\circ}$. Проведем высоту $BH$:
   $AH = AB \cos60^{\circ} = \frac{AB}{2}$, $HD =8 -6 =2$
   $\frac{AB}{2} =2 \quad \Rightarrow \quad AB=4$
   Высота $BH = AB \sin60^{\circ} =4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} =2\sqrt{3}$
   Диагональ $BD = \sqrt{HD^2 + BH^2} = \sqrt{6^2 + (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{48} =4\sqrt{3}$
   Диагональ $AC = \sqrt{AB^2 + BC^2 -2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos120^{\circ}} = \sqrt{16 +36 +24} = \sqrt{76} =2\sqrt{19}$
   Ответ: $4\sqrt{3}$ и $2\sqrt{19}$.
   
   
6. Как разложить 8 монет в клетки доски 4х4, чтобы ни на какой прямой не лежали 3 монеты?
   Решение:
   Пример расположения:
   
   В каждой строке и столбце по 2 монеты, на диагоналях не более 2.
   
   
7. Доказать, что "трудных" задач на 20 больше, чем "легких".
   Решение:
   Пусть $L$ — легкие задачи, $T$ — трудные, $S$ — остальные.
   Всего задач: $L + T + S =100$
   Сумма решений: $3L + T +2S =3 \cdot60 =180$
   Вычтем удвоенное первое уравнение: $3L + T +2S -2L -2T -2S =180 -200 \quad \Rightarrow \quad L -T =-20 \quad \Rightarrow \quad T -L=20$
   Ч.т.д.