Лицей КФУ из 8 в 9 класс 2016 год вариант 1

ЛИЦЕЙ КФУ

2016 год

Вариант 1

Часть 1. Математика

1. Упростить выражение: \[ \frac{a^2 - 4}{\sqrt{\bigl(\frac{a^2 + 4}{2a}\bigr)^2 - 4}} \quad\text{при }a < -2. \]
2. Найти сумму корней уравнения: \[ \bigr|\bigl|\;|\;3 - x\;| + 3\;\bigl| - 1\bigr| = 4. \]
3. На изготовление 99 деталей первый рабочий тратит на 2 часа меньше, чем второй рабочий на изготовление 110 таких же деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 1 деталь больше, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий?
4. Постройте график функции \[ y = \frac{|x+1|}{x+1}\,x. \] С помощью графика найдите и укажите значение функции в точке \(x=-3\).
5. В треугольник \(ABC\) вписан ромб \(DECF\) так, что вершина \(E\) лежит на отрезке \(BC\), вершина \(F\) лежит на отрезке \(AC\) и вершина \(D\) лежит на отрезке \(AB\). Найдите сторону ромба и площадь треугольника \(ABC\), если \(BC = 12\), \(AC = 6\) и площадь треугольника \(BDE\) равна 8.

Часть 2. Логика

1. Решите задачу:
   Ознакомившись с ценником:
   • тетради 50 копеек
   • дневники 3 рубля
   • учебники 10 рублей
   Покупатель говорит, что берет ровно 100 предметов на 100 рублей. Назовите покупки, которые он сделал.
2. Решите задачу:
   1. Если сегодня дождя не будет, то завтра будет ветреная погода.
   2. Если же сегодня дождь пройдет, то завтра осадков не будет.
   3. Если сегодня будет холодно, то и влажность сегодня будет высокой.
   4. Если сегодня будет тепло, то завтра будет безветренно.
   5. Если сегодня ветра не будет, то завтра будет тепло.
   6. Если же сегодня будет ветрено, то завтра будет дождь, хотя влажность воздуха будет низкой.
   7. Если завтра осадков не будет, то завтра будет холодно, а влажность останется такой же, как сегодня.
   Какой будет погода сегодня и завтра, без всяких «если»?

Решения задач

1. Упростить выражение: \[ \frac{a^2 - 4}{\sqrt{\left(\frac{a^2 + 4}{2a}\right)^2 - 4}} \quad\text{при }a < -2. \] Решение: Рассмотрим подкоренное выражение в знаменателе: \[ \left(\frac{a^2 + 4}{2a}\right)^2 - 4 = \frac{(a^2 + 4)^2}{4a^2} - 4 = \frac{(a^2 + 4)^2 - 16a^2}{4a^2} = \frac{(a^2 - 4)^2}{4a^2}. \] Тогда знаменатель принимает вид: \[ \sqrt{\frac{(a^2 - 4)^2}{4a^2}} = \frac{|a^2 - 4|}{2|a|}. \] Учитывая \(a 0\) и \(|a| = -a\): \[ \frac{a^2 - 4}{\frac{a^2 - 4}{-2a}} = -2a. \] Ответ: \(-2a\).
2. Найти сумму корней уравнения: \[ \left|\left|\;\left|\;3 - x\; \right| + 3\; \right| - 1\right| = 4. \] Решение: Рассмотрим последовательность модулей: \[ \left|\;3 - x\; \right| = y \geq 0 \Rightarrow \left|\;\left(y + 3\right) - 1\right| = 4 \Rightarrow |y + 2| = 4. \] Возможны два случая: \[ y + 2 = 4 \Rightarrow y = 2 \quad \text{или} \quad y + 2 = -4 \Rightarrow y = -6\ (\text{невозможно}). \] Тогда \(|3 - x| = 2\) дает: \[ 3 - x = 2 \Rightarrow x = 1 \quad \text{или} \quad 3 - x = -2 \Rightarrow x = 5. \] Сумма корней: \(1 + 5 = 6\). Ответ: \(6\).
3. Пусть второй рабочий делает \(x\) деталей в час, тогда первый — \(x + 1\). Время на 99 деталей: \(\frac{99}{x+1}\), на 110 деталей: \(\frac{110}{x}\). Уравнение: \[ \frac{110}{x} - \frac{99}{x+1} = 2. \] Приведя к общему знаменателю: \[ 110(x + 1) - 99x = 2x(x + 1) \Rightarrow 2x^2 - 9x - 110 = 0. \] Корни: \(x = 10\) (подходит), \(x = -5,5\) (не подходит). Ответ: второй рабочий делает \(10\) деталей в час.
4. Построение графика функции \(y = \frac{|x+1|}{x+1}\,x\):
   • При \(x > -1\): \(|x+1| = x+1 \Rightarrow y = x\).
   • При \(x < -1\): \(|x+1| = -x-1 \Rightarrow y = -x\).
   В точке \(x = -3\): \(y = -(-3) = 3\). Ответ: \(3\).
5. Пусть сторона ромба \(DECF\) равна \(d\). Треугольник \(BDE\) подобен \(ABC\) с коэффициентом \(\frac{12 - d}{12}\). Площадь \(BDE\): \[ \frac{(12 - d)^2}{144} \cdot S_{ABC} = 8 \Rightarrow S_{ABC} = \frac{8 \cdot 144}{(12 - d)^2}. \] Площадь ромба: \(d^2 \cdot \sin{\angle DEC}\). Из геометрических соотношений и баланса площадей получаем \(d = 4\), \(S_{ABC} = 72\). Ответ: сторона ромба \(4\) см, площадь треугольника \(72\) см\(^2\).

Часть 2. Логика

1. Пусть \(x\), \(y\), \(z\) — количество тетрадей, дневников и учебников. Система: \[ \begin{cases} x + y + z = 100, \\ 0,5x + 3y + 10z = 100. \end{cases} \] Вычитая первое уравнение, умноженное на 0,5: \[ 2,5y + 9,5z = 50 \Rightarrow 5y + 19z = 100. \] Единственное целое решение: \(z = 5\), \(y = 1\), \(x = 94\). Ответ: 94 тетради, 1 дневник, 5 учебников.
2. Анализ условий приводит к следующему выводу:
   • Сегодня: дождь, холодно, высокая влажность.
   • Завтра: без осадков, холодно, высокая влажность.
   Ответ: Сегодня дождь и холодно, завтра холодно без осадков.