Лицей КФУ из 8 в 9 класс 2015 год вариант 1
Печать
youit.school ©
ЛИЦЕЙ КФУ
2015 год
Вариант 1
- Известно, что \[ \frac{a - b}{a} = 4. \] Найдите значение \[ \frac{6a + 5b}{b}. \]
- Найти количество целых решений системы неравенств \[ \begin{cases} \frac{2x - 1}{6} + \frac{x + 2}{3} - \frac{x - 8}{2} > x - 1,\\ 2 - 2x \le 0{,}5 + 0{,}5x. \end{cases} \]
- Постройте график функции \[ y = \frac{(x^2 + x)\,\bigl|x\bigr|}{x + 1} \] и определите, при каких значениях \(C\) прямая \(y = C\) не имеет с графиком ни одной общей точки.
- В первом сплаве содержится \(25\%\) меди, а во втором — \(45\%\). В каком отношении нужно взять первый и второй сплавы, чтобы получить из них новый сплав, содержащий \(30\%\) меди?
- Радиусы двух окружностей, имеющих общий центр, относятся как \(3:5\). Хорда большей окружности касается меньшей окружности и равна \(16\) см. Найдите радиусы окружностей.
- Даны действительные числа \(a, b, c\), причем \(a > b > c\). Докажите неравенство \[ a^2b + b^2c + c^2a > b^2a + a^2c + c^2b. \]
- В комнате собрались 8 человек. Некоторые из них лгут, а остальные — честные люди, всегда говорящие правду.
- Первый из собравшихся сказал: «Здесь нет ни одного честного человека».
- Второй сказал: «Здесь не больше одного честного человека».
- Третий сказал: «Здесь не более двух честных людей».
- И так далее до восьмого, который сказал: «Здесь не более семи честных людей».
Материалы школы Юайти
youit.school ©
Решения задач
- Известно, что
\[
\frac{a - b}{a} = 4.
\]
Найдите значение
\[
\frac{6a + 5b}{b}.
\]
Решение:
Из условия $\frac{a - b}{a} = 4$ выразим $b$: \[ a - b = 4a \implies -b = 3a \implies b = -3a. \] Подставим $b = -3a$ в выражение: \[ \frac{6a + 5(-3a)}{-3a} = \frac{6a -15a}{-3a} = \frac{-9a}{-3a} = 3. \] Ответ: 3.
- Найти количество целых решений системы неравенств
\[
\begin{cases}
\frac{2x - 1}{6} + \frac{x + 2}{3} - \frac{x - 8}{2} > x - 1,\\
2 - 2x \le 0{,}5 + 0{,}5x.
\end{cases}
\]
Решение:
Упростим первое неравенство (умножим все члены на 6): \[ (2x -1) + 2(x +2) -3(x -8) > 6x -6 \implies 2x -1 +2x +4 -3x +24 >6x -6 \implies x +27 >6x -6 \implies 33 >5x \implies x <6{,}6. \] Второе неравенство: \[ 2 -2x \le0{,}5 +0{,}5x \implies 2 -0{,}5 \le2{,}5x \implies 1{,}5 \le2{,}5x \implies x \ge0{,}6. \] Целые решения: $x = 1, 2, 3, 4, 5, 6$ — всего 6 чисел.
Ответ: 6.
- Постройте график функции
\[
y = \frac{(x^2 + x)\,\bigl|x\bigr|}{x + 1}
\]
и определите значения \(C\), при которых прямая \(y = C\) не имеет с графиком общих точек.
Решение:
Упростим выражение:- При \(x > -1\) (и \(x \neq -1\)): \(|x| = x\), тогда \(y = x^2\).
- При \(x < -1\): \(|x| = -x\), тогда \(y = -x^2\).
Ответ: \(-1 \le C < 0\).
- В первом сплаве содержится \(25\%\) меди, а во втором — \(45\%\). Найти отношение сплавов для получения \(30\%\)-ного сплава.
Решение:
Пусть масса первого сплава \(m\), второго — \(n\). Уравнение меди: \[ 0{,}25m + 0{,}45n = 0{,}30(m + n). \] Перепишем: \[ 0{,}15n = 0{,}05m \implies \frac{m}{n} = \frac{0{,}15}{0{,}05} = 3:1. \] Ответ: \(3:1\).
- Радиусы окружностей относятся \(3:5\). Хорда большей окружности равна \(16\) см и касается меньшей. Найти радиусы.
Решение:
Пусть радиусы \(3k\) и \(5k\). Из геометрии: \[ 16 = 2\sqrt{(5k)^2 - (3k)^2} = 8k \implies k = 2. \] Радиусы: \(6\) см и \(10\) см.
Ответ: \(6\) см и \(10\) см.
- Доказать неравенство \(a^2b + b^2c + c^2a > b^2a + a^2c + c^2b\) при \(a > b > c\).
Решение:
Разность: \[ a^2b + b^2c + c^2a - b^2a - a^2c - c^2b = (a - b)(a - c)(b - c). \] По условию \(a > b > c\), следовательно, произведение положительно.
Доказано.
- В комнате 8 человек. Утверждения: «Здесь не более \(i-1\) честных». Определить число честных.
Решение:
Пусть \(k\) — число честных. Честные люди должны подтвердить, что \(k \le i -1\) для своих номеров \(i\), лжецы — опровергнуть. Проверкой устанавливается \(k = 4\):
честные люди (номера 5–8) утверждают верно, лжецы (1–4) лгут.
Ответ: 4.
Материалы школы Юайти