Лицей КФУ из 7 в 8 класс 2024 год вариант 4

ЛИЦЕЙ КФУ

2024 год

Вариант 4

1. Вычислите: \[ \frac{(12 \cdot 3^{10} - 2 \cdot 9^5) \cdot 49}{10 \cdot 9^6}. \]
2. Упростите выражение: \[ \frac{16x^2 + 8xy + 4y^2}{64x^3 - 8y^3} \;:\; \frac{-4x - 2y}{4y^2 - 16x^2}. \]
3. Найдите значения параметра \(a\), при которых уравнения \[ 3a + 9ax + 29 = 5x \quad\text{и}\quad \frac{5 - x}{4} - \frac{7x + 11}{3} = -5 \] будут иметь одинаковые корни.
4. Найдите число \(k\), если известно, что точки \[ A\bigl(-\tfrac{1}{3};\,7\bigr), \quad B\bigl(-\tfrac{1}{2};\, -\tfrac{1}{2}\bigr) \quad\text{и}\quad C\bigl(k;\,2k - 1\bigr) \] лежат на одной прямой.
5. На основании \(GK\) равнобедренного треугольника \(LGK\) отмечена точка \(D\), а на его боковой стороне \(LK\) — точка \(E\) так, что \(LE = LD\). Зная, что угол \(GLD\) равен \(35^\circ\), найти величину угла \(KDE\).
6. В лицее был проведен опрос среди учеников 8 «А» класса. Выяснилось, что 20% учеников, интересующихся математикой, интересуются еще и информатикой. Также известно 25% учеников, интересующихся информатикой, интересуются также и математикой. И только двоим не интересен ни один из этих предметов. Сколько учеников в 8 «А» классе, если известно, что их больше 20, но меньше 30?
7. Наибольший общий делитель двух натуральных чисел равен 18, а сумма этих чисел равна 108. Найдите эти числа. В ответе укажите все возможные варианты и докажите, что других нет.

Решения задач

1. Вычислите: \[ \frac{(12 \cdot 3^{10} - 2 \cdot 9^5) \cdot 49}{10 \cdot 9^6} \] Решение: \[ 9^5 = (3^2)^5 = 3^{10},\quad 9^6 = 3^{12} \] Подставляем: \[ \frac{(12 \cdot 3^{10} - 2 \cdot 3^{10}) \cdot 49}{10 \cdot 3^{12}} = \frac{3^{10}(12 - 2) \cdot 49}{10 \cdot 3^{12}} = \frac{10 \cdot 3^{10} \cdot 49}{10 \cdot 3^{12}} = \frac{49}{3^2} = \frac{49}{9} = 5\frac{4}{9} \] Ответ: $\frac{49}{9}$.
   
   
2. Упростите выражение: \[ \frac{16x^2 + 8xy + 4y^2}{64x^3 - 8y^3} \;:\; \frac{-4x - 2y}{4y^2 - 16x^2} \] Решение: Раскладываем на множители: \[ 16x^2 +8xy +4y^2 =4(4x^2 +2xy +y^2),\quad 64x^3 -8y^3=8(2x -y)(4x^2 +2xy +y^2) \] Упрощаем первую дробь: \[ \frac{4(4x^2 +2xy +y^2)}{8(2x -y)(4x^2 +2xy +y^2)} = \frac{1}{2(2x - y)} \] Вторая дробь: \[ 4y^2 -16x^2 =4(y -2x)(y +2x), \quad -4x -2y =-2(2x +y) \] Упрощаем вторую дробь: \[ \frac{-2(2x +y)}{4(y -2x)(y +2x)} = \frac{1}{2(2x - y)} \] Деление дробей: \[ \frac{1}{2(2x - y)} : \frac{1}{2(2x - y)} =1 \] Ответ: $1$.
   
   
3. Найдите значения параметра \(a\), при которых уравнения будут иметь одинаковые корни. Первое уравнение: \[ 3a +9ax +29 =5x \quad \Rightarrow \quad x = \frac{ -3a -29}{9a -5} \] Второе уравнение: \[ \frac{5 -x}{4} - \frac{7x +11}{3} =-5 \] Умножаем на 12: \[ 3(5 -x) -4(7x +11) =-60 \quad \Rightarrow \quad -31x -29 = -60 \quad \Rightarrow \quad x =1 \] Подставляем \(x =1\) в первое уравнение: \[ 12a +29 =5 \quad \Rightarrow \quad a =-2 \] Ответ: $-2$.
   
   
4. Найдите число \(k\): Уравнение прямой \(AB\): Угловой коэффициент: \[ m = \frac{ -\frac{1}{2} -7 }{ -\frac{1}{2} + \frac{1}{3} } =45 \] Уравнение: \[ y -7 =45\left(x +\frac{1}{3}\right) \quad \Rightarrow \quad y =45x +22 \] Подставляем \(C(k;2k -1)\): \[ 2k -1 =45k +22 \quad \Rightarrow \quad k =-\frac{23}{43} \] Ответ: $-\frac{23}{43}$.
   
   
5. Найдите угол \(KDE\): Так как \(\triangle LDE\) равнобедренный (\(LE =LD\)), угол при вершине \(L\) равен \(35^\circ\). Тогда углы при основании равны: \[ \angle LDK = \angle LEK =72.5^\circ \] Рассматривая \(\angle KDE\) как вертикальный с \(\angle LDK\), получаем: \[ \angle KDE =35^\circ \] Ответ: $35^\circ$.
   
   
6. Найдите количество учеников: Пусть \(M\) — интересующиеся математикой, \(I\) — информатикой. По условию: \[ 0.2M =0.25I \quad \Rightarrow \quad M =1.25I \] Общее число учеников: \[ N = M +I -0.2M +2 =1.25I +I -0.25I +2 =2I +2 \] При \(20 < N <30\): \[ I \in \{9,10,11,12\} \] Единственное целое решение \(N =24\). Ответ: $24$.
   
   
7. Найдите числа с НОД 18 и суммой 108: Числа имеют вид \(18a\) и \(18b\), где \(a\) и \(b\) взаимно просты. Тогда: \[ a + b =\frac{108}{18}=6 \] Возможные пары \((a,b)\): \((1,5)\), \((5,1)\). Соответствующие числа: \(18\) и \(90\). Ответ: $18$ и $90$.