Лицей КФУ из 7 в 8 класс 2024 год вариант 3

ЛИЦЕЙ КФУ

2024 год

Вариант 3

1. Вычислите: \[ \frac{(15 \cdot 4^8 - 16^4)\cdot 4}{21 \cdot 4^7}. \]
2. Упростите выражение: \[ \frac{25x^2 + 15xy + 9y^2}{125x^3 - 27y^3} \;\colon\; \frac{-5x - 3y}{9y^2 - 25x^2}. \]
3. Найдите значения параметра \(a\), при которых уравнения \[ 4a + 6ax + 26 = 5x \quad\text{и}\quad \frac{x - 5}{12} + \frac{7x + 11}{20} = 1 \] будут иметь одинаковые корни.
4. Найдите число \(k\), если известно, что точки \[ A\bigl(1; -\tfrac13\bigr),\quad B\bigl(3; \tfrac13\bigr)\quad\text{и}\quad C\bigl(k; 2k - 1\bigr) \] лежат на одной прямой.
5. На основании \(KM\) равнобедренного треугольника \(PKM\) отмечена точка \(D\), а на его боковой стороне \(PM\) — точка \(E\) так, что \(PE = PD\). Зная, что угол \(KPD\) равен \(25^\circ\), найдите величину угла \(MDE\).
6. В лицее был проведен опрос среди учеников 8 «А» класса. Выяснилось, что $10\%$ учеников, интересующихся математикой, интересуются еще и физикой. Также известно, $25\%$ учащихся, интересующихся физикой, интересуются также и математикой. И только одному не интересен ни один из этих предметов. Сколько учеников в 8 «А» классе, если известно, что их больше 20, но меньше 30?
7. Наибольший общий делитель двух натуральных чисел равен 28, а сумма этих чисел равна 112. Найдите эти числа. В ответе укажите все возможные варианты и докажите, что других нет.

Решения задач

1. Вычислите: \[ \frac{(15 \cdot 4^8 - 16^4)\cdot 4}{21 \cdot 4^7}. \]
   Решение: \[ 16^4 = (4^2)^4 = 4^8 \quad \Rightarrow \quad 15 \cdot 4^8 - 4^8 = 14 \cdot 4^8. \]
   Упростим выражение: \[ \frac{14 \cdot 4^8 \cdot 4}{21 \cdot 4^7} = \frac{14 \cdot 4^9}{21 \cdot 4^7} = \frac{14}{21} \cdot 4^{2} = \frac{2}{3} \cdot 16 = \frac{32}{3}. \]
   Ответ: \(\dfrac{32}{3}\).
   
   
2. Упростите выражение: \[ \frac{25x^2 + 15xy + 9y^2}{125x^3 - 27y^3} \;\colon\; \frac{-5x - 3y}{9y^2 - 25x^2}. \]
   Решение:
   [2pt] 1. Разложим знаменатели и числители на множители: \[ 125x^3 - 27y^3 = (5x - 3y)(25x^2 + 15xy + 9y^2), \] \[ 9y^2 - 25x^2 = -(5x - 3y)(5x + 3y). \]
   2. Заменим деление умножением на обратную дробь: \[ \frac{25x^2 + 15xy + 9y^2}{(5x - 3y)(25x^2 + 15xy + 9y^2)} \cdot \frac{-(5x - 3y)(5x + 3y)}{-5x - 3y}. \]
   3. Сократим общие множители и упростим: \[ \frac{1}{5x - 3y} \cdot \frac{-(5x - 3y)(5x + 3y)}{-(5x + 3y)} = 1. \]
   Ответ: \(1\).
   
   
3. Найдите значения параметра \(a\), при которых уравнения \[ 4a + 6ax + 26 = 5x \quad\text{и}\quad \frac{x - 5}{12} + \frac{7x + 11}{20} = 1 \] будут иметь одинаковые корни.
   Решение:
   [2pt] 1. Найдем корень второго уравнения: \[ \frac{5(x - 5) + 3(7x + 11)}{60} = 1 \quad \Rightarrow \quad 5x - 25 + 21x + 33 = 60 \quad \Rightarrow \quad 26x = 52 \quad \Rightarrow \quad x = 2. \]
   2. Подставим \(x = 2\) в первое уравнение: \[ 4a + 6a \cdot 2 + 26 = 5 \cdot 2 \quad \Rightarrow \quad 16a = -16 \quad \Rightarrow \quad a = -1. \]
   Ответ: \(-1\).
   
   
4. Найдите число \(k\), если известно, что точки \[ A\bigl(1; -\tfrac13\bigr),\quad B\bigl(3; \tfrac13\bigr)\quad\text{и}\quad C\bigl(k; 2k - 1\bigr) \] лежат на одной прямой.
   Решение:
   [2pt] 1. Угловой коэффициент прямой \(AB\): \[ \frac{\tfrac13 - (-\tfrac13)}{3 - 1} = \frac{\tfrac23}{2} = \frac{1}{3}. \]
   2. Уравнение прямой \(AB\): \[ y + \tfrac13 = \tfrac{1}{3}(x - 1) \quad \Rightarrow \quad y = \tfrac{1}{3}x - \tfrac{2}{3}. \]
   3. Подставим координаты точки \(C\): \[ 2k - 1 = \tfrac{1}{3}k - \tfrac{2}{3} \quad \Rightarrow \quad 6k - 3 = k - 2 \quad \Rightarrow \quad 5k = 1 \quad \Rightarrow \quad k = \tfrac{1}{5}. \]
   Ответ: \(\dfrac{1}{5}\).
   
   
5. На основании \(KM\) равнобедренного треугольника \(PKM\) отмечена точка \(D\), а на его боковой стороне \(PM\) — точка \(E\) так, что \(PE = PD\). Зная, что угол \(KPD\) равен \(25^\circ\), найдите величину угла \(MDE\).
   Решение:
   [2pt] 1. Треугольник \(PED\) равнобедренный (\(PE = PD\)), следовательно, \(\angle PDE = \angle PED\).
   2. Угол \(KPD = 25^\circ\) — внешний угол треугольника \(PDE\), значит: \[ \angle PDE + \angle PED = 25^\circ \quad \Rightarrow \quad 2\angle PDE = 25^\circ \quad \Rightarrow \quad \angle PDE = 12.5^\circ. \]
   3. Угол \(MDE\) равен сумме углов \(PDM\) и \(PDE\). Поскольку \(PKM\) равнобедренный и \(PD = PE\), угол \(MDE\) составляет: \[ \angle MDE = 180^\circ - 2 \cdot 25^\circ = 130^\circ \quad \Rightarrow \quad \angle MDE = 50^\circ. \]
   Ответ: \(50^\circ\).
   
   
6. В лицее был проведен опрос среди учеников 8 «А» класса. Выяснилось, что $10\%$ учеников, интересующихся математикой, интересуются еще и физикой. Также известно, $25\%$ учащихся, интересующихся физикой, интересуются также и математикой. И только одному не интересен ни один из этих предметов. Сколько учеников в 8 «А» классе, если известно, что их больше 20, но меньше 30?
   Решение:
   [2pt] 1. Пусть \(m\) — интересующиеся математикой, \(f\) — физикой. По условию: \[ 0.1m = 0.25f \quad \Rightarrow \quad m = 2.5f. \]
   2. Формула включений-исключений: \[ m + f - 0.1m + 1 = N \quad \Rightarrow \quad 3.25f + 1 = N. \]
   3. Подбираем \(f\) так, чтобы \(20 < N < 30\). При \(f = 8\): \[ N = 3.25 \cdot 8 + 1 = 27. \]
   Ответ: \(27\).
   
   
7. Наибольший общий делитель двух натуральных чисел равен 28, а сумма этих чисел равна 112. Найдите эти числа.
   Решение:
   [2pt] 1. Числа имеют вид \(28k\) и \(28m\), где \(k\) и \(m\) взаимно просты. Сумма: \[ 28k + 28m = 112 \quad \Rightarrow \quad k + m = 4. \]
   2. Возможные пары \((k, m)\) с \(НОД(k, m) = 1\): \((1, 3)\) и \((3, 1)\). Соответствующие числа: \[ 28 \cdot 1 = 28,\, 28 \cdot 3 = 84 \quad \text{или} \quad 28 \cdot 3 = 84,\, 28 \cdot 1 = 28. \]
   Ответ: \(28\) и \(84\).