Лицей КФУ из 7 в 8 класс 2024 год вариант 2

ЛИЦЕЙ КФУ

2024 год

Вариант 2

1. Вычислите: \[ \frac{(15 \cdot 5^8 - 25^4)\,\times\,256}{4 \cdot 10^{10}}. \]
2. Упростите выражение: \[ \frac{9x^2 + 3xy + y^2}{27x^3 - y^3} \;\colon\; \frac{-3x - y}{y^2 - 9x^2}. \]
3. Найдите значения параметра \(a\), при которых уравнения \[ 5ax - 7a + 3 = 7x \quad\text{и}\quad \frac{x + 7}{4} - \frac{7x - 1}{6} = 1 \] будут иметь одинаковые корни.
4. Найдите число \(k\), если известно, что точки \(A\bigl(-\tfrac23;5\bigr)\), \(B(2;13)\) и \(C\bigl(\tfrac{k+1}{2};2k\bigr)\) лежат на одной прямой.
5. На основании \(PR\) равнобедренного треугольника \(KPR\) отмечена точка \(A\), а на его боковой стороне \(KR\) — точка \(B\) так, что \(KA = KB\). Зная, что угол \(BAR\) равен \(20^\circ\), найдите величину угла \(PKA\).
6. В лицее был проведён опрос среди учеников 8 «М» класса. Выяснилось, что 25% учеников, интересующихся математикой, интересуются ещё и информатикой. Также известно, что 20% учащихся, интересующихся информатикой, интересуются также и математикой. И только одному не интересен ни один из этих предметов. Сколько учеников в 8 «М» классе, если известно, что их больше 20, но меньше 30?
   
   
7. Наибольший общий делитель двух натуральных чисел равен 15, а сумма этих чисел равна 90. Найдите эти числа. В ответе укажите все возможные варианты и докажите, что других нет.

Решения задач

1. Вычислите: \[ \frac{(15 \cdot 5^8 - 25^4) \times 256}{4 \cdot 10^{10}}. \] Решение: \[ 25^4 = (5^2)^4 = 5^8, \quad 15 \cdot 5^8 - 5^8 = 14 \cdot 5^8, \] \[ 256 = 2^8, \quad \text{числитель: } 14 \cdot 5^8 \cdot 2^8 = 14 \cdot (5 \cdot 2)^8 = 14 \cdot 10^8, \] \[ \text{знаменатель: }4 \cdot 10^{10} = 4 \cdot 10^2 \cdot 10^8 = 4 \cdot 100 \cdot 10^8 = 400 \cdot 10^8, \] \[ \frac{14 \cdot 10^8}{400 \cdot 10^8} = \frac{14}{400} = \frac{7}{200}. \] Ответ: \(\frac{7}{200}\).
   
   
2. Упростите выражение: \[ \frac{9x^2 + 3xy + y^2}{27x^3 - y^3} \;\colon\; \frac{-3x - y}{y^2 - 9x^2}. \] Решение: \[ 27x^3 - y^3 = (3x - y)(9x^2 + 3xy + y^2), \quad y^2 - 9x^2 = -(3x - y)(3x + y), \] \[ \frac{9x^2 + 3xy + y^2}{(3x - y)(9x^2 + 3xy + y^2)} \times \frac{-(3x - y)(3x + y)}{-3x - y} = \] \[ \frac{1}{3x - y} \times \frac{(3x - y)(3x + y)}{-(3x + y)} = 1. \] Ответ: \(1\).
   
   
3. Найдите значения параметра \(a\) при одинаковых корнях уравнений: \[ 5ax - 7a + 3 = 7x \quad\text{и}\quad \frac{x + 7}{4} - \frac{7x - 1}{6} = 1. \] Решение второго уравнения: \[ 3(x + 7) - 2(7x - 1) = 12 \quad \Rightarrow \quad x = 1. \] Подстановка \(x = 1\) в первое уравнение: \[ 5a \cdot 1 - 7a + 3 = 7 \quad \Rightarrow \quad -2a = 4 \quad \Rightarrow \quad a = -2. \] Ответ: \(-2\).
   
   
4. Найдите число \(k\) для точек \(A\bigl(-\tfrac23;5\bigr)\), \(B(2;13)\), \(C\bigl(\tfrac{k+1}{2};2k\bigr)\) на одной прямой.
   Решение: Угловой коэффициент \(AB\): \[ \frac{13 - 5}{2 - (-\tfrac{2}{3})} = 3, \] уравнение прямой \(AB\): \(y = 3x + \frac{17}{3}\).
   Подстановка точки \(C\): \[ 2k = 3 \cdot \tfrac{k+1}{2} + \tfrac{17}{3} \quad \Rightarrow \quad k = 17. \] Ответ: \(17\).
   
   
5. Найдите угол \(PKA\) в равнобедренном треугольнике \(KPR\).
   Решение: Поскольку \(KA = KB\), треугольник \(KAB\) равнобедренный. Угол \(BAR = 20^\circ\) позволяет установить, что угол между \(KA\) и боковой стороной равен \(40^\circ\). Угол \(PKA\) как внешний угол в равнобедренном треугольнике равен \(40^\circ\).
   Ответ: \(40^\circ\).
   
   
6. Определите число учеников в классе 8 «М».
   Решение: Пусть \(M\) — ученики, интересующиеся математикой, \(I\) — информатикой.
   Условия: \(0.25M = 0.2I\) (совместное изучение), \(M = \frac{4}{5}I\).
   Общее число: \(2M +1\) при \(M = 12\), \(I =15\).
   Ответ: \(25\).
   
   
7. Найдите два числа с НОД 15 и суммой 90.
   Решение: Числа: \(15m\) и \(15n\), где \(m + n =6\) и \(m\), \(n\) взаимно просты.
   Единственная пара: \(1\) и \(5\). Числа: \(15 \cdot 1 =15\) и \(15 \cdot5=75\).
   Ответ: \(15\) и \(75\).