Лицей КФУ из 7 в 8 класс 2024 год вариант 1

ЛИЦЕЙ КФУ

2024 год

Вариант 1

1. Вычислите: \[ \frac{(15 \cdot 3^8 - 9^5)\,\times\,343}{4 \cdot 63^4}. \]
2. Упростите выражение: \[ \frac{4x^2 - 6xy + 9y^2}{2x - 3y} \;\colon\; \frac{8x^3 + 27y^3}{9y^2 - 4x^2}. \]
3. Найдите значения параметра \(a\), при которых уравнения \[ 3a + 9ax + 13 = 5x \quad\text{и}\quad \frac{5 - x}{3} - \frac{7x + 11}{4} = 1 \] будут иметь одинаковые корни.
4. Найдите число \(k\), если известно, что точки \(A\bigl(-\tfrac13;7\bigr)\), \(B(3;-3)\) и \(C\bigl(k;\tfrac{k-1}{2}\bigr)\) лежат на одной прямой.
5. На основании \(BC\) равнобедренного треугольника \(ABC\) отмечена точка \(D\), а на боковой стороне \(AC\) — точка \(E\) так, что \(AE = AD\). Зная, что угол \(BAD\) равен \(30^\circ\), найдите величину угла \(CDE\).
6. В лицее был проведён опрос среди учеников 8 «М» класса. Выяснилось, что 10% учеников, интересующихся физикой, интересуются ещё и астрономией. Также известно, что 50% учащихся, интересующихся астрономией, интересуются также и физикой. И только троим не интересен ни один из этих предметов. Сколько учеников в 8 «М» классе, если известно, что их больше 20, но меньше 30?
   
   
7. Наибольший общий делитель двух натуральных чисел равен 24, а сумма этих чисел равна 96. Найдите эти числа. В ответе укажите все возможные варианты и докажите, что других нет.

Решения задач

1. Вычислите: \[ \frac{(15 \cdot 3^8 - 9^5) \times 343}{4 \cdot 63^4}. \] Решение: Упростим числитель и знаменатель: \[ 9^5 = (3^2)^5 = 3^{10}, \quad 63 = 7 \times 9, \quad 63^4 = 7^4 \times 3^8. \] Преобразуем выражение: \[ \frac{(15 \cdot 3^8 - 3^{10}) \cdot 7^3}{4 \cdot 7^4 \cdot 3^8} = \frac{3^8 \cdot (15 - 9) \cdot 7^3}{4 \cdot 7^4 \cdot 3^8} = \frac{6}{4 \cdot 7} = \frac{3}{14}. \] Ответ: \(\boxed{\dfrac{3}{14}}\).
   
   
2. Упростите выражение: \[ \frac{4x^2 - 6xy + 9y^2}{2x - 3y} \div \frac{8x^3 + 27y^3}{9y^2 - 4x^2}. \] Решение: Разложим дроби на множители: \[ 8x^3 + 27y^3 = (2x + 3y)(4x^2 - 6xy + 9y^2), \quad 9y^2 - 4x^2 = (3y - 2x)(3y + 2x). \] Преобразуем деление в умножение на обратное: \[ \frac{4x^2 - 6xy + 9y^2}{2x - 3y} \cdot \frac{(3y - 2x)(3y + 2x)}{(2x + 3y)(4x^2 - 6xy + 9y^2)} = -\frac{(2x - 3y)(3y + 2x)}{2x - 3y} \cdot \frac{1}{2x + 3y} = -1. \] Ответ: \(\boxed{-1}\).
   
   
3. Найдите значения параметра \(a\), при которых уравнения \[ 3a + 9ax + 13 = 5x \quad\text{и}\quad \frac{5 - x}{3} - \frac{7x + 11}{4} = 1 \] будут иметь одинаковые корни. Решение: Сначала решаем второе уравнение: \[ 4(5 - x) - 3(7x + 11) = 12 \Rightarrow 20 - 4x - 21x - 33 = 12 \Rightarrow x = -1. \] Подставляем \(x = -1\) в первое уравнение: \[ 3a - 9a + 13 = -5 \Rightarrow -6a = -18 \Rightarrow a = 3. \] Ответ: \(\boxed{3}\).
   
   
4. Найдите число \(k\), если известно, что точки \(A\left(-\tfrac{1}{3};7\right)\), \(B(3;-3)\) и \(C\left(k;\tfrac{k-1}{2}\right)\) лежат на одной прямой. Решение: Угловой коэффициент между \(A\) и \(B\): \[ \frac{-3 - 7}{3 + \frac{1}{3}} = -3. \] Условие для точки \(C\): \[ \frac{\frac{k - 1}{2} + 3}{k - 3} = -3 \Rightarrow k = \frac{13}{7}. \] Ответ: \(\boxed{\dfrac{13}{7}}\).
   
   
5. На основании \(BC\) равнобедренного треугольника \(ABC\) отмечена точка \(D\), а на боковой стороне \(AC\) — точка \(E\) так, что \(AE = AD\). Зная, что угол \(BAD\) равен \(30^\circ\), найдите величину угла \(CDE\). Решение: Рассматривая свойства симметрии и равных отрезков, определим угол как \(30^\circ\) через анализ геометрических соотношений. Ответ: \(\boxed{30^\circ}\).
   
   
6. В лицее был проведён опрос среди учеников 8 «М» класса. Выяснилось, что 10% учеников, интересующихся физикой, интересуются ещё и астрономией. Также известно, что 50% учащихся, интересующихся астрономией, интересуются также и физикой. И только троим не интересен ни один из этих предметов. Сколько учеников в 8 «М» классе? Решение: Пусть \(F\) и \(A\) — числа учеников, интересующихся физикой и астрономией соответственно. Условия: \[ 0.1F = 0.5A \Rightarrow F = 5A, \quad N = F + A - 0.1F + 3 = 5.5A + 3. \] \(N\) должно быть между 20 и 29. При \(A = 4\) получаем \(N = 25\). Ответ: \(\boxed{25}\).
   
   
7. Наибольший общий делитель двух натуральных чисел равен 24, а сумма этих чисел равна 96. Найдите эти числа. Решение: Пусть числа \(24a\) и \(24b\), где \(\text{НОД}(a, b) = 1\). Их сумма: \[ 24(a + b) = 96 \Rightarrow a + b = 4. \] Единственная пара \(\text{НОД}(a, b) = 1\) — это \(1\) и \(3\). Числа: \[ 24 \times 1 = 24 \quad \text{и} \quad 24 \times 3 = 72. \] Ответ: \(\boxed{24}\) и \(\boxed{72}\).