Лицей КФУ из 7 в 8 класс 2023 год вариант 4

ЛИЦЕЙ КФУ

2023 год

Вариант 4

1. Два эскалатора, работая вместе, перевезли за 10 ч некоторое количество пассажиров. Первый эскалатор перевозил в час 60% от количества пассажиров, перевозимых за час вторым эскалатором. За сколько часов перевез бы это же количество пассажиров один первый эскалатор?
2. Вычислите: \[ 3 \cdot 1998^0 + \frac{ \bigl(25^8 : 5^{10}\bigr)\cdot 10^{16}\cdot 14^{20}\cdot (2^3)^7\cdot\bigl(\tfrac{7^{30}}{7^{18}}\bigr) }{ 5^3\cdot(8^5 : 2^9)^3\cdot 10^{11}\cdot 7^{23}\cdot 35^8\cdot 2^{26} }. \]
3. Сократите дроби: \[ \text{a)}\;\frac{16a^2 + 40ab^2 + 25b^4}{16a^2 - 25b^4}, \quad \text{б)}\;\frac{a^2 - 16b^2 + 4a + 4}{a^2 - 8ab + 16b^2 - 4}. \]
4. Решите уравнения:
   1. \((2x - 1)^2 - (3x + 5)(x - 1) - (x + 2)(x - 2) = 7.\)
   2. \(a^4 + 2a^3 + 3a^2 + 6a = 0.\)
5. Докажите, что если биссектриса одного из внешних углов треугольника параллельна одной из его сторон, то этот треугольник равнобедренный.

Решения задач

1. Два эскалатора, работая вместе, перевезли за 10 часов пассажиров. Первый эскалатор перевозил 60% от количества пассажиров второго в час. За сколько часов перевез бы это же количество пассажиров один первый эскалатор? Решение: Пусть производительность второго эскалатора — \(x\) пассажиров в час. Тогда производительность первого — \(0,6x\). Совместная производительность: \[ x + 0,6x = 1,6x \] Общее количество пассажиров: \[ 1,6x \cdot 10 = 16x \] Время работы первого эскалатора: \[ \frac{16x}{0,6x} = \frac{16}{0,6} = \frac{80}{3} = 26\frac{2}{3} \text{ часа} \] Ответ: \(\frac{80}{3}\) часа.
   
   
2. Вычислите: \[ 3 \cdot 1998^0 + \frac{\left(25^8 : 5^{10}\right) \cdot 10^{16} \cdot 14^{20} \cdot (2^3)^7 \cdot \left(\frac{7^{30}}{7^{18}}\right)}{5^3 \cdot \left(8^5 : 2^9\right)^3 \cdot 10^{11} \cdot 7^{23} \cdot 35^8 \cdot 2^{26}} \] Решение: Упростим числитель и знаменатель отдельно:
   • Числитель: \(5^6 \cdot 2^{57} \cdot 7^{32}\)
   • Знаменатель: \(5^{22} \cdot 2^{55} \cdot 7^{31}\)
   Сокращаем дробь: \[ \frac{5^6 \cdot 2^{57} \cdot 7^{32}}{5^{22} \cdot 2^{55} \cdot 7^{31}} = 7 \cdot 2^2 = 28 \] Всё выражение: \[ 3 \cdot 1 + 28 = 31 \] Ответ: 31.
   
   
3. Сократите дроби:
   1. \(\frac{16a^2 + 40ab^2 + 25b^4}{16a^2 - 25b^4}\)
      Решение: Числитель — квадрат \((4a + 5b^2)^2\), знаменатель — разность квадратов \((4a - 5b^2)(4a + 5b^2)\): \[ \frac{(4a + 5b^2)^2}{(4a - 5b^2)(4a + 5b^2)} = \frac{4a + 5b^2}{4a - 5b^2} \] Ответ: \(\frac{4a + 5b^2}{4a - 5b^2}\)
      
      
   2. \(\frac{a^2 - 16b^2 + 4a + 4}{a^2 - 8ab + 16b^2 - 4}\)
      Решение: Числитель — разность квадратов \((a+2 - 4b)(a+2 + 4b)\), знаменатель — разность квадратов \((a - 4b - 2)(a - 4b + 2)\): \[ \frac{(a+2 - 4b)(a+2 + 4b)}{(a - 4b - 2)(a - 4b + 2)} = \frac{a + 2 + 4b}{a - 4b - 2} \] Ответ: \(\frac{a + 4b + 2}{a - 4b - 2}\)
   
   
   
4. Решите уравнения:
   1. \((2x - 1)^2 - (3x + 5)(x - 1) - (x + 2)(x - 2) = 7\)
      Решение: Раскроем скобки и упростим: $$\begin{aligned} 4x^2 - 4x + 1 - (3x^2 + 2x - 5) - (x^2 - 4) &= 7 \\ 4x^2 - 4x + 1 - 3x^2 - 2x + 5 - x^2 + 4 &= 7 \\ -6x + 10 &= 7 \\ x &= \frac{-3}{-6} = 0,5 \end{aligned}$$ Ответ: \(0,5\)
   2. \(a^4 + 2a^3 + 3a^2 + 6a = 0\) Решение: Вынесем общий множитель и разложим на множители: $$\begin{aligned} a(a^3 + 2a^2 + 3a + 6) &= 0 \\ a(a + 2)(a^2 + 3) &= 0 \end{aligned}$$ Корни: \(a = 0\), \(a = -2\) (действительные корни). Ответ: \(0\); \(-2\)
   
   
   
5. Докажите, что если биссектриса одного из внешних углов треугольника параллельна одной из его сторон, то этот треугольник равнобедренный. Доказательство: Пусть биссектриса внешнего угла при вершине \(C\) параллельна стороне \(AB\). Внешний угол при \(C\) равен сумме углов \(A\) и \(B\). Биссектриса делит этот угол пополам: \[ \angle LCB = \frac{\angle A + \angle B}{2} \] Из параллельности \(\angle LCB = \angle B\), следовательно: \[ \frac{\angle A + \angle B}{2} = \angle B \implies \angle A = \angle B \] Значит, треугольник равнобедренный (\(AC = BC\)). Доказано.