Лицей КФУ из 7 в 8 класс 2023 год вариант 3

ЛИЦЕЙ КФУ

2023 год

Вариант 3

1. Две газонокосилки, работая вместе, скосили газон за 5 ч. Производительность первой газонокосилки составляет 140% от производительности второй. За сколько часов этот газон скосила бы одна вторая газонокосилка?
   
   
2. Вычислите: \[ 3 \cdot 2023^0 + \frac{ \bigl(14^{22} : 14^{11}\bigr)\,\cdot\,2^{16}\,\cdot\,7^5\;\cdot\;(9^3)^6\;\cdot\Bigl(\tfrac{7^{35}}{7^{23}}\Bigr) }{ 7^{14}\,\cdot\,(9:3^3)^2\,\cdot\,14^{14}\,\cdot\,3^{17}\,\cdot\,2^{13} }. \]
   
   
3. Сократите дроби: \[ \text{a)}\;\frac{9a^2 + 42ab^2 + 49b^4}{9a^2 - 49b^4}, \quad \text{б)}\;\frac{a^2 - 4b^2 + 6a + 9}{a^2 - 4ab + 4b^2 - 9}. \]
   
   
4. Решите уравнения:
   1. \((x - 4)^2 - (2 - 5x)(2 + 5x) - (13x - 2)(2x + 1) = 10.\)
   2. \(a^4 - 5a^3 + 2a^2 - 10a = 0.\)
   
   
   
5. Докажите, что основание равнобедренного треугольника параллельно биссектрисе одного из внешних углов.

Решения задач

1. Две газонокосилки, работая вместе, скосили газон за 5 ч. Производительность первой газонокосилки составляет 140% от производительности второй. За сколько часов этот газон скосила бы одна вторая газонокосилка?
   Решение: Пусть производительность второй газонокосилки — $x$ газонов/час. Тогда производительность первой $1,4x$. Совместная производительность: $ x + 1,4x = 2,4x $ За 5 часов они скашивают: $ 2,4x \cdot 5 = 12x \quad (\text{это соответствует 1 газону}) $ Время работы второй газонокосилки: $ \frac{12x}{x} = 12 \text{ часов} \\ Ответ: 12. $
2. Вычислите: \[ 3 \cdot 2023^0 + \frac{ \bigl(14^{22} : 14^{11}\bigr)\,\cdot\,2^{16}\,\cdot\,7^5\;\cdot\;(9^3)^6\;\cdot\Bigl(\tfrac{7^{35}}{7^{23}}\Bigr) }{ 7^{14}\,\cdot\,(9:3^3)^2\,\cdot\,14^{14}\,\cdot\,3^{17}\,\cdot\,2^{13} } \] Решение:
   Упростим по частям:
   • $2023^0 = 1 \Rightarrow 3 \cdot 1 = 3$
   • Числитель: $$\begin{aligned} 14^{22} : 14^{11} &= 14^{11} \\ 9^{3 \cdot 6} &= (3^2)^{18} = 3^{36} \\ \frac{7^{35}}{7^{23}} &= 7^{12} \\ \Rightarrow 14^{11} \cdot 2^{16} \cdot 7^5 \cdot 3^{36} \cdot 7^{12} &= 14^{11} \cdot 2^{16} \cdot 7^{17} \cdot 3^{36} \end{aligned}$$
   • Знаменатель: $$\begin{aligned} 9 : 3^3 &= \frac{3^2}{3^3} = \frac{1}{3} \Rightarrow \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9} \\ 14^{14} &= (2 \cdot 7)^{14} = 2^{14} \cdot 7^{14} \\ \Rightarrow 7^{14} \cdot \frac{1}{9} \cdot 2^{14} \cdot 7^{14} \cdot 3^{17} \cdot 2^{13} &= 2^{27} \cdot 7^{28} \cdot 3^{15} \end{aligned}$$
   • Сокращаем дробь: $ \frac{14^{11} \cdot 2^{16} \cdot 7^{17} \cdot 3^{36}}{2^{27} \cdot 7^{28} \cdot 3^{15}} = \frac{(2 \cdot 7)^{11} \cdot 2^{16} \cdot 7^{17}}{2^{27} \cdot 7^{28}} \cdot 3^{21} = \frac{2^{11 + 16} \cdot 7^{11 + 17}}{2^{27} \cdot 7^{28}} \cdot 3^{21} = \frac{2^{27} \cdot 7^{28}}{2^{27} \cdot 7^{28}} \cdot 3^{21} = 27 $
   Итоговое значение: $ 3 + 27 = 30 $ Ответ: 30.
3. Сократите дроби: \[ \text{a)}\;\frac{9a^2 + 42ab^2 + 49b^4}{9a^2 - 49b^4}, \quad \text{б)}\;\frac{a^2 - 4b^2 + 6a + 9}{a^2 - 4ab + 4b^2 - 9} \] Решение:
   1. Числитель: $9a^2 + 42ab^2 + 49b^4 = (3a + 7b^2)^2$ $\newline$ Знаменатель: $9a^2 - 49b^4 = (3a - 7b^2)(3a + 7b^2)$ $\newline$ Сокращаем $(3a + 7b^2)$: $ \frac{(3a + 7b^2)^2}{(3a - 7b^2)(3a + 7b^2)} = \frac{3a + 7b^2}{3a - 7b^2}$$\newline$ Ответ: $\frac{3a + 7b^2}{3a - 7b^2}$. $
   2. Числитель: $a^2 - 4b^2 + 6a + 9 = (a + 3)^2 - (2b)^2 = (a + 3 - 2b)(a + 3 + 2b)$ $\newline$ Знаменатель: $a^2 - 4ab + 4b^2 - 9 = (a - 2b)^2 - 3^2 = (a - 2b - 3)(a - 2b + 3)$ $\newline$ Сокращаем множители: $ \frac{(a + 3 - 2b)(a + 3 + 2b)}{(a - 2b - 3)(a - 2b + 3)} = \frac{a + 3 + 2b}{a - 2b - 3}$ $\newline$ Ответ: $\frac{a + 3 + 2b}{a - 2b - 3}$.
4. Решите уравнения:
   1. \((x - 4)^2 - (2 - 5x)(2 + 5x) - (13x - 2)(2x + 1) = 10\) $\newline$ Решение: $$\begin{aligned} x^2 - 8x + 16 - (4 - 25x^2) - (26x^2 + 9x - 2) &= 10 \\ x^2 - 8x + 16 - 4 + 25x^2 - 26x^2 - 9x + 2 &= 10 \\ -17x + 14 &= 10 \\ x &= \frac{4}{17} \end{aligned}$$ Ответ: $\frac{4}{17}$.
   2. \(a^4 - 5a^3 + 2a^2 - 10a = 0\) $\newline$ Решение: $ a(a^3 - 5a^2 + 2a - 10) = 0 \Rightarrow a = 0 \quad \text{или} \quad a^3 - 5a^2 + 2a - 10 = 0 $ Находим корень кубического уравнения: $ a = 5 \Rightarrow 125 - 125 + 10 - 10 = 0 $ Раскладываем: $ (a - 5)(a^2 + 2) = 0 \Rightarrow a = 5 \quad (\text{корни } \pm i\sqrt{2} \text{ не действительные}) $ $\newline$ Ответ: $0, \,5. $
5. Докажите, что основание равнобедренного треугольника параллельно биссектрисе одного из внешних углов. $\newline$ Доказательство: Пусть $\triangle ABC$ равнобедренный ($AB = AC$). Рассмотрим внешний угол при вершине $B$ и его биссектрису $BD$.
   • Величина внешнего угла при $B$: $180^\circ - \angle ABC$
   • Биссектриса делит его на два угла по $\frac{180^\circ - \angle ABC}{2}$
   • Угол при вершине $B$ треугольника: $\angle ABC = \angle ACB = \alpha$
   • Угол между биссектрисой и стороной $BC$: $ \frac{180^\circ - \alpha}{2} = 90^\circ - \frac{\alpha}{2} $
   • Угол между основанием $BC$ и боковой стороной $AB$: $ \alpha = \angle ABC $
   • Для параллельности достаточно равенства соответственных углов. Обозначим секущую $AB$: $ \angle ABD = 90^\circ - \frac{\alpha}{2} \quad \text{и} \quad \angle BAC = 180^\circ - 2\alpha $
   • Таким образом, углы между биссектрисой внешнего угла и боковой стороной, а также между основанием и боковой стороной будут соответственными, что доказывает параллельность.
   Доказано.