8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Лицей КФУ из 7 в 8 класс 2023 год вариант 2

Сложность:
Дата экзамена: 2023
Печать
youit.school ©

ЛИЦЕЙ КФУ


2023 год


Вариант 2



  1. Два эскалатора, работая вместе, перевезли за 9 ч некоторое количество пассажиров. Первый эскалатор перевозил в час 80% от количества пассажиров, перевозимых за час вторым эскалатором. За какое время перевез бы это же количество пассажиров один первый эскалатор?

  2. Вычислите: \[ 7 \cdot 4321^0 + \frac{ \bigl(35^{22} : 35^{11}\bigr)\cdot 5^{17}\cdot 7^4\cdot (9^3)^6\cdot\bigl(\tfrac{7^{25}}{7^{12}}\bigr) }{ 7^{14}\cdot (9^6 : 3^3)^2\cdot 35^{14}\cdot 3^{17}\cdot 5^{13} }. \]

  3. Сократите дроби: \[ \text{a)}\;\frac{4y^2 + 20yx^2 + 25x^4}{4y^2 - 25x^4}, \quad \text{б)}\;\frac{z^2 - 10z - 9x^2 + 25}{z^2 - 6xz - 25 + 9x^2}. \]

  4. Решите уравнения:
    1. \((x - 5)^2 - (1 - 3x)(3x + 1) - (10x - 3)(x - 1) = 22.\)
    2. \(a^4 + 5a^3 + 8a^2 + 40a = 0.\)


  5. Докажите, что если биссектриса одного из внешних углов треугольника параллельна одной из его сторон, то этот треугольник равнобедренный.
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Пусть второй эскалатор перевозит $x$ пассажиров в час. Тогда первый перевозит $0,8x$ пассажиров в час. Совместная производительность: $x + 0,8x = 1,8x$. Объём работы: $1,8x \cdot 9 = 16,2x$.
    Время первого эскалатора: $\frac{16,2x}{0,8x} = 20,25$ часов.
    Ответ: 20,25 часа.

  2. Упростим выражение: \[ 7 + \frac{ (35^{22} : 35^{11}) \cdot 5^{17} \cdot 7^4 \cdot 9^{18} \cdot 7^{13} }{ 7^{14} \cdot 9^{18 : 3 \cdot 2} \cdot 35^{14} \cdot 3^{17} \cdot 5^{13} } \]
    Числитель: $35^{11} \cdot 5^{17} \cdot 7^{17} \cdot 3^{36}$.
    Знаменатель: $7^{14} \cdot 3^{18} \cdot 5^{14} \cdot 7^{14} \cdot 3^{17} \cdot 5^{13}$.
    После сокращения степеней: $\frac{5^{28} \cdot 7^{28} \cdot 3^{36}}{5^{27} \cdot 7^{28} \cdot 3^{35}} = 5 \cdot 3 = 15$.
    Итог: $7 + 15 = 22$.
    Ответ: 22.

  3. Сокращение дробей:
    1. $\frac{(2y + 5x^2)^2}{(2y - 5x^2)(2y + 5x^2)} = \frac{2y + 5x^2}{2y - 5x^2}$.
    2. Числитель: $(z - 5)^2 - (3x)^2 = (z - 5 - 3x)(z - 5 + 3x)$. Знаменатель: $(z - 3x)^2 - 5^2 = (z - 3x - 5)(z - 3x + 5)$.
      Сокращаем: $\frac{(z - 5 - 3x)(z - 5 + 3x)}{(z - 3x - 5)(z - 3x + 5)} = -1$.
    Ответы: a) $\frac{2y + 5x^2}{2y - 5x^2}$; б) $-1$.

  4. Решение уравнений:
    1. Раскрываем скобки:
      $(x^2 - 10x + 25) - (1 - 9x^2) - (10x^2 - 13x + 3) = 22$
      Упрощаем: $3x + 21 = 22 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{1}{3}$.
      Ответ: $\frac{1}{3}$.

    2. Выносим множители:
      $a(a^3 + 5a^2 + 8a + 40) = 0$
      Группируем: $(a + 5)(a^2 + 8) = 0$
      Корни: $a = 0$, $a = -5$.
      Ответ: $0$, $-5$.


  5. Пусть биссектриса внешнего угла $\angle C$ параллельна стороне $AB$. Внешний угол при $C$ равен $180^{\circ} - \angle C$, его биссектриса образует угол $\frac{180^{\circ} - \angle C}{2}$. Из параллельности следует равенство накрест лежащих углов, что влечёт $\angle A = \angle B$, следовательно, $AC = BC$.
    Доказано.
Материалы школы Юайти