Лицей КФУ из 7 в 8 класс 2023 год вариант 1

ЛИЦЕЙ КФУ

2023 год

Вариант 1

1. Две газонокосилки, работая вместе, скосили газон за 3 ч. Производительность первой газонокосилки составляет 120% от производительности второй. За какое время этот газон скосила бы одна первая газонокосилка?
2. Вычислите: \[ 2 \cdot 1112^0 \;+\; \frac{ \bigl(25^8 : 5^{11}\bigr)\cdot 10^{17}\cdot 6^{19}\cdot (2^3)^7\cdot\bigl(\tfrac{3^{26}}{3^{13}}\bigr) }{ 5^3\cdot(8^5 : 2^9)^3\cdot 10^{11}\cdot 3^{23}\cdot 15^8\cdot 2^{26} }. \]
3. Сократите дроби: \[ \text{a)}\;\frac{9y^2 - 24yx^2 + 16x^4}{9y^2 - 16x^4}, \quad \text{б)}\;\frac{z^2 - 12z - 4x^2 + 36}{z^2 - 4xz - 36 + 4x^2}. \]
4. Решите уравнения:
   1. \((3x - 1)(3 + x) - (2x + 5)(2x - 5) + (x + 1)^2 = 8.\)
   2. \(a^4 - 6a^3 + 9a^2 - 54a = 0.\)
5. Докажите, что основание равнобедренного треугольника параллельно биссектрисе одного из его внешних углов.

Решения задач

1. Две газонокосилки, работая вместе, скосили газон за 3ч. Производительность первой газонокосилки составляет 120% от производительности второй. За какое время этот газон скосила бы одна первая газонокосилка?
   Решение: Пусть производительность второй газонокосилки равна $x$ (газонов в час). Тогда производительность первой газонокосилки $-1,2x$. Совместная производительность:
   $x + 1,2x = 2,2x$.
   За 3 часа они выполнили работу:
   $2,2x \cdot 3 = 6,6x = 1$ (газону).
   Отсюда $x = \frac{1}{6,6} = \frac{5}{33}$. Производительность первой газонокосилки:
   $1,2x = 1,2 \cdot \frac{5}{33} = \frac{6}{33} = \frac{2}{11}$.
   Время работы первой газонокосилки:
   $\frac{1}{\frac{2}{11}} = \frac{11}{2} = 5,5$ часа.
   Ответ: 5,5 ч.
2. Вычислите: \[ 2 \cdot 1112^0 \;+\; \frac{ \bigl(25^8 : 5^{11}\bigr)\cdot 10^{17}\cdot 6^{19}\cdot (2^3)^7\cdot\bigl(\tfrac{3^{26}}{3^{13}}\bigr) }{ 5^3\cdot(8^5 : 2^9)^3\cdot 10^{11}\cdot \hspace{-0.5mm} 3^{23}\cdot 15^8\cdot 2^{26} }. \]
   Решение:
   1. Первое слагаемое: $2 \cdot 1 = 2$.
   2. Упрощение дробных частей:
   Числитель: $$\begin{aligned} &25^8 : 5^{11} = 5^{16} : 5^{11} = 5^5, \\ &10^{17} = (2 \cdot 5)^{17} = 2^{17} \cdot 5^{17}, \\ &6^{19} = (2 \cdot 3)^{19} = 2^{19} \cdot 3^{19}, \\ &(2^3)^7 = 2^{21}, \\ &\frac{3^{26}}{3^{13}} = 3^{13}. \end{aligned}$$ Итого числитель: $5^5 \cdot 2^{17} \cdot 5^{17} \cdot 2^{19} \cdot 3^{19} \cdot 2^{21} \cdot 3^{13} = 2^{57} \cdot 3^{32} \cdot 5^{22}$. \\ Знаменатель: $$\begin{aligned} &8^5 : 2^9 = 2^{15} : 2^9 = 2^6, \\ &(2^6)^3 = 2^{18}, \\ &10^{11} = (2 \cdot 5)^{11} = 2^{11} \cdot 5^{11}, \\ &15^8 = (3 \cdot 5)^8 = 3^8 \cdot 5^8. \end{aligned}$$ Итого знаменатель: $5^3 \cdot 2^{18} \cdot 2^{11} \cdot 5^{11} \cdot 3^{23} \cdot 3^8 \cdot 5^8 \cdot 2^{26} = 2^{55} \cdot 3^{31} \cdot 5^{22}$. $\newline$ Дробь упрощается до: $\newline$ $\frac{2^{57}}{2^{55}} \cdot \frac{3^{32}}{3^{31}} = 2^2 \cdot 3 = 4 \cdot 3 = 12$. $\newline$ Итоговое значение: $2 + 12 = 14$. $\newline$ Ответ: 14.
3. Сократите дроби: \[ \text{a)}\;\frac{9y^2 - 24yx^2 + 16x^4}{9y^2 - 16x^4}, \quad \text{б)}\;\frac{z^2 - 12z - 4x^2 + 36}{z^2 - 4xz - 36 + 4x^2}. \] $\newline$ Решение: $\newline$ а) Числитель: $\newline$ $9y^2 - 24yx^2 + 16x^4 = (3y - 4x^2)^2$. $\newline$ Знаменатель: $\newline$ $9y^2 - 16x^4 = (3y - 4x^2)(3y + 4x^2)$. $\newline$ Дробь сокращается до: $\newline$ $\frac{3y - 4x^2}{3y + 4x^2}$. $\newline$ б) Числитель: $\newline$ $z^2 - 12z + 36 - 4x^2 = (z - 6)^2 - (2x)^2 = (z - 6 - 2x)(z - 6 + 2x)$. $\newline$ Знаменатель: $\newline$ $z^2 - 4xz + 4x^2 - 36 = (z - 2x)^2 - 6^2 = (z - 2x - 6)(z - 2x + 6)$. $\newline$ Дробь сокращается до: $\newline$ $\frac{z - 6 + 2x}{z - 2x + 6}$. $\newline$ Ответ: $\newline$ а) $\frac{3y - 4x^2}{3y + 4x^2}$; б) $\frac{z - 6 + 2x}{z - 2x + 6}$.
4. Решите уравнения:
   1. $(3x - 1)(3 + x) - (2x + 5)(2x - 5) + (x + 1)^2 = 8$. $\newline$ Решение: $\newline$ Раскроем скобки: $$\begin{aligned} &(3x - 1)(3 + x) = 9x + 3x^2 - 3 - x = 3x^2 + 8x - 3, \\ &-(2x + 5)(2x - 5) = -(4x^2 - 25) = -4x^2 + 25, \\ &(x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1. \end{aligned}$$ Соберём всё: $\newline$ $3x^2 + 8x - 3 - 4x^2 + 25 + x^2 + 2x + 1 = 8$. $\newline$ Упростим элементы: $\newline$ $ (3x^2 - 4x^2 + x^2) + (8x + 2x) + (-3 + 25 + 1) = 8$, $\newline$ $0x^2 + 10x + 23 = 8$, $\newline$ $10x = -15$, $\newline$ $x = -1,5$. $\newline$ Ответ: $-1,5$.
   2. $a^4 - 6a^3 + 9a^2 - 54a = 0$. $\newline$ Решение: $\newline$ Разложим на множители: $\newline$ $a(a^3 - 6a^2 + 9a - 54) = 0$. $\newline$ Внутренний кубический многочлен: $\newline$ $a^3 - 6a^2 + 9a - 54 = (a^3 - 6a^2) + (9a - 54) = a^2(a - 6) + 9(a - 6) = (a - 6)(a^2 + 9)$. $\newline$ Следовательно: $\newline$ $a(a - 6)(a^2 + 9) = 0$. $\newline$ Корни: $\newline$ $a = 0$, $a = 6$, $a^2 + 9 = 0$ (действительных корней нет). $\newline$ Ответ: $0$; $6$.
5. Докажите, что основание равнобедренного треугольника параллельно биссектрисе одного из его внешних углов. $\newline$ Доказательство: $\newline$ Рассмотрим равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $BC$, где $AB = AC$. Проведём внешний угол при вершине $C$, образованный продолжением стороны $BC$ за точку $C$ до точки $D$. Обозначим биссектрису внешнего угла $\angle DCA$ как $CL$ ($L$ — точка на этой биссектрисе). $\newline$ Угол $\angle DCA$ равен $180^\circ - \angle ACB$, и его биссектриса делит его на два угла по $\frac{180^\circ - \angle ACB}{2} = 90^\circ - \frac{\angle ACB}{2}$. $\newline$ Угол между основанием $BC$ и биссектрисой $CL$ равен $90^\circ - \frac{\angle ACB}{2}$. $\newline$ В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: $\angle ABC = \angle ACB$. Угол между основанием $BC$ и стороной $AB$ равен $\angle ABC = \angle ACB$. $\newline$ Равенство углов $\angle ACB$ и угла между $CL$ и $BC$ следует из того, что в равнобедренном треугольнике $\angle BCL = \angle ABC$ вследствие симметрии углов при параллельных прямых. Таким образом, прямые $AB$ и $CL$ параллельны по признаку равенства накрест лежащих углов.