Лицей КФУ из 7 в 8 класс 2021 год вариант 4

ЛИЦЕЙ КФУ

2021 год

Вариант 4

МАТЕМАТИКА

1. Упростите выражение: \[ \frac{3^{\,n+1} - 3^{\,n-1}}{2\cdot 3^n}. \]
2. Решите уравнение: \[ (x + 5)(x^2 + 25) \;-\; x^3 - 125 \;=\; 0. \]
3. Дана линейная функция \(y = kx - 6\). При каком значении коэффициента \(k\) график этой функции проходит через точку, абсцисса и ордината которой равны?
4. В двузначном числе количество единиц на 1 меньше количества десятков. Если переставить цифры, то полученное число будет в \(1{,}2\) раза меньше исходного. Найдите это двузначное число.
5. Докажите, что медиана треугольника \(ABC\), проведённая из вершины \(A\), меньше полусуммы сторон \(AB\) и \(AC\).

ЛОГИКА

1. В коробке лежит полный набор костей домино. Два игрока по очереди выбирают из коробки по одной кости и выкладывают её на стол, прикладывая к уже выложенной цепочке с любой из двух сторон по правилам домино. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выигрывает при правильной игре?
2. В классе 24 ученика. Каждый из учеников занимается не более чем в двух кружках, причём для любых двух учеников существует кружок, в котором они вместе. Докажите, что найдётся кружок, в котором занимается не менее 16 учеников.

Решения задач

1. Упростите выражение: \[ \frac{3^{\,n+1} - 3^{\,n-1}}{2\cdot 3^n} \] Решение: $$\begin{aligned} \frac{3^{n+1} - 3^{n-1}}{2 \cdot 3^n} &= \frac{3^{n-1}(3^2 - 1)}{2 \cdot 3^n} \\ &= \frac{3^{n-1} \cdot 8}{2 \cdot 3^n} = \frac{8}{2 \cdot 3} = \frac{4}{3} \end{aligned}$$ Ответ: \(\frac{4}{3}\).$\newline$ $\newline$
2. Решите уравнение: \[ (x + 5)(x^2 + 25) \;-\; x^3 - 125 \;=\; 0 \] Решение: $$\begin{aligned} (x + 5)(x^2 + 25) - x^3 -125 &= (x^3 +25x +5x^2 +125) -x^3 -125 \\ &=5x^2 +25x =5x(x + 5) =0 \\ x &=0 \quad \text{или} \quad x = -5 \end{aligned}$$ Ответ: \(-5;\; 0\).
   
   
3. Дана линейная функция \(y = kx - 6\). При каком значении коэффициента \(k\) график этой функции проходит через точку, абсцисса и ордината которой равны? Решение: Пусть точка \((a; a)\) лежит на графике. Тогда: \[ a = ka -6 \quad \Rightarrow \quad a(1 -k) = -6 \quad \Rightarrow \quad a = \frac{-6}{1 -k} \] Данное уравнение имеет решение при любом \(k \ne 1\). Проверим единственный конфликтный случай \(k = 1\): \[ a = a -6 \quad \Rightarrow \quad 0 = -6\quad \text{(неверно)} \] Ответ: Все действительные числа, кроме \(k = 1\).
   
   
4. В двузначном числе количество единиц на 1 меньше количества десятков. Если переставить цифры, то полученное число будет в \(1{,}2\) раза меньше исходного. Найдите это двузначное число. Решение: Пусть десятки = \(a\), тогда единицы = \(a-1\). Исходное число: \[ 10a + (a-1) =11a -1 \] После перестановки: \[ 10(a-1) + a =11a -10 \] Уравнение для отношения: \[ 11a -1 =1{,}2(11a -10) \quad \Rightarrow \quad 11a -1 =13{,}2a -12 \quad \Rightarrow \quad -2{,}2a = -11 \quad \Rightarrow \quad a =5 \] Ответ: \(54\).
   
   
5. Докажите, что медиана треугольника \(ABC\), проведённая из вершины \(A\), меньше полусуммы сторон \(AB\) и \(AC\). Доказательство: Пусть \(AM\) — медиана. Рассмотрим треугольник \(AMA'\), где \(A'\) — точка, симметричная \(A\) относительно \(M\). Получаем параллелограмм \(ABA'C\). По неравенству треугольников: \[ AA' < AB + A'C = AB + AC \] Но \(AA' =2AM\), так как диагонали параллелограмма делятся пополам. Тогда: \[ 2AM < AB + AC \quad \Rightarrow \quad AM < \frac{AB + AC}{2} \] Ч.т.д.
   
   
6. В коробке лежит полный набор костей домино. Два игрока по очереди выбирают из коробки по одной кости и выкладывают её на стол, прикладывая к уже выложенной цепочке с любой из двух сторон по правилам домино. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выигрывает при правильной игре? Ответ: Первый игрок. Стратегия: первый ход — размещение любой кости. Далее первый игрок копирует ходы второго относительно центра цепочки, сохраняя симметрию. Это обеспечивает первому игроку последний ход.
   
   
7. В классе 24 ученика. Каждый из учеников занимается не более чем в двух кружках, причём для любых двух учеников существует кружок, в котором они вместе. Докажите, что найдётся кружок, в котором занимается не менее 16 учеников. Доказательство: Предположим противное: все кружки имеют ≤15 учеников. Каждая пара учеников должна пересечься хотя бы в одном кружке. Всего пар учеников: \(\binom{24}{2} =276\). Каждый кружок покрывает \(\binom{k}{2}\) пар при размере \(k\). Для максимального \(k=15\): \(\binom{15}{2}=105\). Но даже при трех кружках по 15 учеников суммарно покрыто \(3 \times105=315\) пар (с возможными пересечениями). Однако такое покрытие неполно, так как отдельные ученики вне крупных кружков не образуют все необходимые пары. При условии, что каждый ученик состоит в двух кружках, средний размер должен соответствовать \(\frac{2 \times24}{\text{число кружков}}\). Для покрытия всех пар требуется кружок с ≥16 учениками, обеспечивший наличие общих пар через центральное ядро.