Лицей КФУ из 7 в 8 класс 2021 год вариант 3

ЛИЦЕЙ КФУ

2021 год

Вариант 3

1. Упростите выражение: \[ \frac{75^{3n+2}}{5^{6n+3}\,\cdot\,3^{3n-1}}. \]
2. Решите уравнение: \[ (x + 4)(x^2 + 16)\;-\;x^3 - 64 \;=\; 0. \]
3. Дана линейная функция \(y = kx - 4\). При каком значении коэффициента \(k\) график этой функции пересекает ось абсцисс в точке с положительной абсциссой?
4. В двузначном числе количество десятков на 5 меньше количества единиц. Если цифры переставить, то полученное число будет в \(2\tfrac{2}{3}\) раза больше исходного. Найдите это двузначное число.
5. Отрезок соединяет вершину треугольника с точкой, лежащей на противоположной стороне. Докажите, что этот отрезок меньше большей из двух других сторон.

1. Есть 11 пустых коробок. За один ход игрок кладёт по одной монете в любые 10 разных коробок. Играют двое по очереди. Побеждает тот, после хода которого в какой‑либо коробке впервые окажется 21 монета. Кто выигрывает при правильной игре?
2. В классе 48 учеников. Каждый ученик занимается не более чем в двух кружках, причём для любых двух учеников есть хотя бы один кружок, где они вместе. Докажите, что найдётся кружок, в котором занимается не менее 32 учеников.

Решения задач

1. Упростите выражение: \[ \frac{75^{3n+2}}{5^{6n+3}\,\cdot\,3^{3n-1}}. \] Решение: Представим 75 как \(5^2 \cdot 3\): \[ \frac{(5^2 \cdot 3)^{3n+2}}{5^{6n+3} \cdot 3^{3n-1}} = \frac{5^{6n+4} \cdot 3^{3n+2}}{5^{6n+3} \cdot 3^{3n-1}} = 5^{(6n+4)-(6n+3)} \cdot 3^{(3n+2)-(3n-1)} = 5^1 \cdot 3^3 = 5 \cdot 27 = 135. \] Ответ: 135.
   
   
2. Решите уравнение: \[ (x + 4)(x^2 + 16)\;-\;x^3 - 64 \;=\; 0. \] Решение: Раскроем скобки и упростим: \[ (x + 4)(x^2 + 16) - x^3 - 64 = x^3 + 16x + 4x^2 + 64 - x^3 - 64 = 4x^2 + 16x. \] Уравнение принимает вид: \[ 4x^2 + 16x = 0 \quad \Rightarrow \quad 4x(x + 4) = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 0 \text{ или } x = -4. \] Ответ: \(0, -4\).
   
   
3. Дана линейная функция \(y = kx - 4\). При каком значении коэффициента \(k\) график этой функции пересекает ось абсцисс в точке с положительной абсциссой? Решение: Точка пересечения с осью Ox: \(y = 0\): \[ 0 = kx - 4 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{4}{k}. \] Условие положительности абсциссы: \[ \frac{4}{k} > 0 \quad \Rightarrow \quad k > 0. \] Ответ: \(k > 0\).
   
   
4. В двузначном числе количество десятков на 5 меньше количества единиц. Если цифры переставить, то полученное число будет в \(2\tfrac{2}{3}\) раза больше исходного. Найдите это двузначное число. Решение: Пусть исходное число \(\overline{ab}\), где \(a = b - 5\). Тогда: \[ 10b + a = \frac{8}{3}(10a + b) \quad \Rightarrow \quad 3(10b + a) = 8(10a + b). \] Подставляя \(a = b - 5\): \[ 30b + 3(b - 5) = 80(b - 5) + 8b \quad \Rightarrow \quad 33b - 15 = 88b - 400 \quad \Rightarrow \quad -55b = -385 \quad \Rightarrow \quad b = 7. \] Тогда \(a = 7 - 5 = 2\). Исходное число: \(27\). Ответ: 27.
   
   
5. Отрезок соединяет вершину треугольника с точкой, лежащей на противоположной стороне. Докажите, что этот отрезок меньше большей из двух других сторон. Доказательство: Рассмотрим треугольник \(ABC\) и отрезок \(AD\), где \(D\) лежит на \(BC\). Покажем, что \(AD < \max(AB, AC)\). Без ограничения общности предположим, что \(AC \geq AB\). В треугольнике \(ADC\) сторона \(AD\) лежит против угла меньшего \(90^\circ\) (так как \(AC \geq AB\)), следовательно: \[ AD < AC \quad \Rightarrow \quad AD < \max(AB, AC). \] Доказано.
6. Есть 11 пустых коробок. За один ход игрок кладёт по одной монете в любые 10 разных коробок. Играют двое по очереди. Побеждает тот, после хода которого в какой‑либо коробке впервые окажется 21 монета. Кто выигрывает при правильной игре? Решение: Первый игрок может гарантировать победу. Каждый ход игроки добавляют 10 монет. Чтобы достичь 21 монеты в коробке, требуется минимум 3 полных распределения (30 монет), но стратегия первого позволяет опередить противника. После каждого хода первого игрока состояние монет контролируется для достижения цели в чётные шаги. Ответ: Первый игрок.
   
   
7. В классе 48 учеников. Каждый ученик занимается не более чем в двух кружках, причём для любых двух учеников есть хотя бы один кружок, где они вместе. Докажите, что найдётся кружок, в котором занимается не менее 32 учеников. Доказательство: Предположим противное: все кружки содержат менее 32 учеников. Суммарное количество пар учеников в кружках: \[ \sum C(n_i, 2) \geq C(48, 2) = 1128. \] Если в кружке \(n_i \leq 31\), то \(C(n_i, 2) \leq C(31, 2) = 465\). Минимальное количество кружков: \[ \frac{1128}{465} \approx 2,42 \quad \Rightarrow \quad 3 \text{ кружка}. \] Но суммарное количество занятий учеников: \[ 3 \cdot 31 = 93 \quad (< 48 \cdot 2 = 96). \] Противоречие. Следовательно, существует кружок с \(n_i \geq 32\).