Лицей КФУ из 7 в 8 класс 2021 год вариант 2

ЛИЦЕЙ КФУ

2021 год

Вариант 2

1. Упростите выражение: \[ \frac{5^{n+1} - 5^{n-1}}{2\cdot 5^n}. \]
2. Решите уравнение: \[ (x - 2)(x^2 + 4) \;-\; x^3 + 8 = 0. \]
3. Дана линейная функция \(y = kx - 5\). При каком значении коэффициента \(k\) график этой функции проходит через точку, абсцисса и ордината которой равны?
4. В двузначном числе количество единиц на 3 больше количества десятков. При перестановке цифр полученное число в $1{,}75$ раза больше исходного. Найдите это двузначное число.
5. Докажите, что расстояние между любыми двумя точками, взятыми на сторонах треугольника, не больше наибольшей стороны.

1. Боря задуман целое число больше 100. Кира называет целое число больше 1. Если Борино число делится на названное, Кира выигрывает, иначе Боря вычитает из своего числа названное, и Кира называет новое число (повторения не разрешены). Если Борино число станет отрицательным, Кира проигрывает. Существует ли у Киры выигрышная стратегия?
2. В классе 36 учеников. Каждый из них занимается не более чем в двух кружках, причём для любых двух учеников есть хотя бы один кружок, в котором они вместе. Докажите, что найдётся кружок, в котором занимается не менее 24 учеников.

Решения задач

1. Упростите выражение: \[ \frac{5^{n+1} - 5^{n-1}}{2 \cdot 5^n}. \] Решение:
   Вынесем общий множитель \(5^{n-1}\) в числителе: \[ \frac{5^{n-1}(5^2 - 1)}{2 \cdot 5^n} = \frac{5^{n-1} \cdot 24}{2 \cdot 5^{n-1} \cdot 5} = \frac{24}{10} = \frac{12}{5}. \] Ответ: \(\frac{12}{5}\).
2. Решите уравнение: \[ (x - 2)(x^2 + 4) - x^3 + 8 = 0. \] Решение:
   Раскроем скобки: \[ x^3 + 4x - 2x^2 - 8 - x^3 + 8 = 0. \] После упрощения: \[ -2x^2 + 4x = 0 \implies 2x(-x + 2) = 0 \implies x = 0 \; \text{или} \; x = 2. \] Ответ: 0; 2.
3. Дана линейная функция \(y = kx - 5\). При каком значении коэффициента \(k\) график этой функции проходит через точку, абсцисса и ордината которой равны? Решение:
   Точка с равными координатами имеет вид \((a, a)\). Подставляем в уравнение: \[ a = k \cdot a - 5 \implies a(1 - k) = -5 \implies a = \frac{5}{k - 1}. \] Такой \(a\) существует при \(k \neq 1\).
   Ответ: \(k \neq 1\).
4. В двузначном числе количество единиц на 3 больше количества десятков. При перестановке цифр полученное число в $1{,}75$ раза больше исходного. Найдите это двузначное число. Решение:
   Пусть количество десятков \(d\), единиц \(e\). Из условий: \[ e = d + 3, \quad 10e + d = 1{,}75(10d + e). \] Подставляем \(e = d + 3\): \[ 10(d + 3) + d = \frac{7}{4}(10d + d + 3) \implies 11d + 30 = \frac{77d + 21}{4} \implies 44d + 120 = 77d + 21 \implies d = 3. \] Тогда \(e = 6\), число \(36\).
   Ответ: 36.
5. Докажите, что расстояние между любыми двумя точками, взятыми на сторонах треугольника, не больше наибольшей стороны. Доказательство:
   Пусть наибольшая сторона треугольника \(AB\). Рассмотрим произвольные точки \(C\) и \(D\) на других сторонах. Согласно неравенству треугольника, \(CD \leq AC + CB \leq AB + CB\). Так как \(AB\) — наибольшая сторона, \(CB \leq AB\), тогда \(CD \leq 2AB\). Однако каждая сторона треугольника длиннее суммы двух других сторон, следовательно, \(CD \leq AB\). Таким образом, любое расстояние между точками сторон не превышает \(AB\).
6. Боря задумал целое число больше 100. Кира называет целое число больше 1. Если Борино число делится на названное, Кира выигрывает, иначе Боря вычитает из своего числа названное, и Кира называет новое число. Если Борино число станет отрицательным, Кира проигрывает. Существует ли у Киры выигрышная стратегия? Решение:
   Да. Кира начинает с числа 2. Если число чётное, она выигрывает. Если нет, Боря получает число \(N - 2\). Повторяя процесс с делителями \(N - 2\), Кира гарантированно найдёт делитель до превращения числа в отрицательное. Например, если исходное число просто, Кира назовёт \(N - 2\) на следующем шаге.
7. В классе 36 учеников. Каждый занимается не более чем в двух кружках, причём для любых двух учеников есть хотя бы один кружок, в котором они вместе. Докажите, что найдётся кружок, в котором занимается не менее 24 учеников. Доказательство:
   Предположим противное. Пусть все кружки содержат менее 24 учеников. Тогда суммарное количество пар в кружках меньше \(C(23,2) \cdot m\), где \(m\) — количество кружков. При \(m \geq \frac{C(36,2)}{C(23,2)} \approx 3{,}5\) (что нецелочисленно), невозможно покрыть все \(630\) пар. Следовательно, существует кружок с не менее \(24\) учениками.