Лицей КФУ из 7 в 8 класс 2021 год вариант 1

ЛИЦЕЙ КФУ

2021 год

Вариант 1

МАТЕМАТИКА

1. Упростите выражение: \[ \frac{18^{n+3}}{3^{2n+5}\cdot 2^{\,n-2}}. \]
2. Решите уравнение: \[ (x-3)(x^2+9) - x^3 + 27 = 0. \]
3. Дана линейная функция \(y = kx - 3\). При каком значении \(k\) график этой функции пересекает ось абсцисс в точке с положительной абсциссой?
4. В двузначном числе количество десятков на 2 меньше количества единиц. Если цифры этого числа переставить, то полученное число будет в $1{,}75$ раза больше данного. Найдите это число.
5. Докажите, что высота неравнобедренного прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, меньше половины гипотенузы.

ЛОГИКА

1. На столе лежат \(n\) спичек (\(n>1\)). Двое игроков по очереди снимают спички со стола. Первым ходом игрок может снять любое число спичек от 1 до \(n-1\), а затем каждый раз — не больше спичек, чем снял партнёр предыдущим ходом. Выигрывает тот, кто взял последнюю спичку. Найдите все \(n\), при которых первый игрок может обеспечить себе выигрыш.
2. В классе 27 учеников. Каждый из учеников класса занимается в трёх кружках, причём для любых двух кружков число учеников, занимающихся одновременно в этих двух кружках, не менее 18. Докажите, что найдётся ученик, который посещает все три кружка.

Решения задач

1. Упростите выражение: \[ \frac{18^{n+3}}{3^{2n+5}\cdot 2^{\,n-2}}. \] Решение: \[ 18^{n+3} = (2 \cdot 3^2)^{n+3} = 2^{n+3} \cdot 3^{2n+6} \] \[ \frac{2^{n+3} \cdot 3^{2n+6}}{3^{2n+5} \cdot 2^{n-2}} = 2^{5} \cdot 3^{1} = 32 \cdot 3 = 96 \] Ответ: 96.
2. Решите уравнение: \[ (x-3)(x^2+9) - x^3 + 27 = 0. \] Решение: \[ x^3 - 3x^2 + 9x - 27 - x^3 + 27 = -3x^2 + 9x = 0 \quad \Rightarrow \quad x(-3x + 9) = 0 \] \[ x = 0 \quad \text{или} \quad x = 3 \] Проверка для \(x=3\): \[ (3-3)(3^2+9) - 27 + 27 = 0 \quad \Rightarrow \quad 0 = 0 \] Ответ: 0; 3.
3. Дана линейная функция \(y = kx - 3\). При каком значении \(k\) график этой функции пересекает ось абсцисс в точке с положительной абсциссой?
   Решение: Точка пересечения с осью \(Ox\): \[ 0 = kx - 3 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{3}{k} \] Условие \(x > 0\) выполняется при \(k > 0\).
   Ответ: \(k > 0\).
4. В двузначном числе количество десятков на 2 меньше количества единиц. Если цифры этого числа переставить, то полученное число будет в $1{,}75$ раза больше данного. Найдите это число.
   Решение: Пусть единицы — \(x\), тогда десятки — \(x - 2\). Исходное число: \[ 10(x-2) + x = 11x - 20 \] Число после перестановки: \[ 10x + (x - 2) = 11x - 2 \] Уравнение: \[ 11x - 2 = 1{,}75 \cdot (11x - 20) \] \[ 11x - 2 = 19{,}25x - 35 \quad \Rightarrow \quad -8{,}25x = -33 \quad \Rightarrow \quad x = 4 \] Исходное число: \(11 \cdot 4 - 20 = 24\).
   Ответ: 24.
5. Докажите, что высота неравнобедренного прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, меньше половины гипотенузы.
   Доказательство: Пусть катеты \(a \neq b\), гипотенуза \(c = \sqrt{a^2 + b^2}\), высота \(h = \frac{ab}{c}\).
   Необходимо показать: \[ \frac{ab}{c} < \frac{c}{2} \quad \Rightarrow \quad 2ab < c^2 \] Учитывая \(c^2 = a^2 + b^2\), неравенство преобразуется: \[ 2ab \lt a^{2}+b^{2} \] Что верно, так как \(a \neq b\).
   Доказано.
6. Найдите все \(n\), при которых первый игрок может обеспечить себе выигрыш.
   Решение: Первый игрок побеждает, если \(n\) не является степенью двойки (\(n \neq 2^k\)). Например, при \(n = 3\) первый берет 2 спички, оставляя 1. При \(n = 2^k\) второй игрок может зеркально отвечать на ходы.
   Ответ: все \(n > 1\), кроме степеней двойки.
7. Докажите, что найдётся ученик, который посещает все три кружка.
   Доказательство: Пусть \(x\) — количество учеников, посещающих все три кружка. Используя принцип включения-исключения: \[ |A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - |A \cap B| - |A \cap C| - |B \cap C| + |A \cap B \cap C| \] \[ 27 = 27 + 27 + 27 - 18 - 18 - 18 + x \quad \Rightarrow \quad 27 = 27 \cdot 3 - 54 + x \quad \Rightarrow \quad x \geq 1 \] Значит, такой ученик существует.
   Доказано.