Лицей КФУ из 7 в 8 класс 2020 год вариант 4

ЛИЦЕЙ КФУ

2020 год

Вариант 4

1. Упростите выражение и найдите его значение при \(x = 6\), \(y = 3\): \[ \frac{(x y^2)^3\,(-2 x y)^9}{y^4 x^{22}}. \]
2. Решите уравнение: \[ (-2x)^3 \;-\; 3x\,(14 - 9x) \;=\; (3 - 2x)^3 \;-\; 23. \]
3. На координатной плоскости отмечены точки \(A(-10; -3)\), \(B(5; 14)\), \(C(-2; 0)\), \(D(0; -5)\). Найдите координаты точки пересечения прямых \(AD\) и \(BC\).
4. Насос выкачивает \(\tfrac{3}{5}\) воды из полного бассейна за 15 минут. Проработав \(0{,}25\) ч, насос остановился, при этом в бассейне осталось 40 л воды. Найдите вместимость бассейна.
5. В треугольнике \(ABC\) проведены высота \(AH\) и биссектриса \(BD\), которые пересекаются в точке \(O\). Угол \(\angle BAC\) равен \(100^\circ\), а углы \(\angle ABC\) и \(\angle BCA\) относятся как \(3:1\). Выясните, какой из отрезков \(BO\) или \(OD\) длиннее.
6. Числители трёх дробей пропорциональны числам \(1, 3, 7\), а знаменатели пропорциональны соответственно числам \(1, 5, 11\). Среднее арифметическое этих дробей равно \(\tfrac{82}{275}\). Найдите эти дроби.
7. Представьте число \(61\) в виде разности кубов двух натуральных чисел и покажите, что это представление единственно.

Решения задач

1. Упростите выражение и найдите его значение при \(x = 6\), \(y = 3\): \[ \frac{(x y^2)^3\,(-2 x y)^9}{y^4 x^{22}}. \] Решение:
   Упростим выражение, используя свойства степеней: \[ \frac{x^3 y^{6} \cdot (-2)^9 x^9 y^9}{y^4 x^{22}} = \frac{-2^9 x^{3+9} y^{6+9}}{x^{22} y^4} = \frac{-512 x^{12} y^{15}}{x^{22} y^4} = -512 x^{-10} y^{11} = -512 \cdot \frac{y^{11}}{x^{10}}. \] Подставляем \(x = 6\), \(y = 3\): \[ -512 \cdot \frac{3^{11}}{6^{10}} = -512 \cdot \frac{3^{11}}{(2 \cdot 3)^{10}} = -512 \cdot \frac{3^{11}}{2^{10} \cdot 3^{10}} = -512 \cdot \frac{3}{1024} = -\frac{1536}{1024} = -\frac{3}{2} = -1{,}5. \] Ответ: \(-1{,}5\).
   
   
2. Решите уравнение: \[ (-2x)^3 \;-\; 3x\,(14 - 9x) \;=\; (3 - 2x)^3 \;-\; 23. \] Решение:
   Раскроем скобки и упростим уравнение: \[ -8x^3 - 42x + 27x^2 = 27 - 54x + 36x^2 - 8x^3 - 23. \] Переносим все члены влево: \[ -8x^3 - 42x + 27x^2 - 27 + 54x - 36x^2 + 8x^3 + 23 = 0. \] Сокращаем подобные: \[ -9x^2 + 12x - 4 = 0 \quad \Rightarrow \quad 9x^2 - 12x + 4 = 0. \] Дискриминант: \[ D = 144 - 144 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{12}{18} = \frac{2}{3}. \] Ответ: \(x = \frac{2}{3}\).
   
   
3. Найдите координаты точки пересечения прямых \(AD\) и \(BC\).
   Решение:
   Уравнение прямой \(AD\) через точки \(A(-10; -3)\) и \(D(0; -5)\): \[ y = \frac{-5 + 3}{0 + 10}(x + 10) - 3 = -\frac{1}{5}x - 5. \] Уравнение прямой \(BC\) через точки \(B(5; 14)\) и \(C(-2; 0)\): \[ y = \frac{14 - 0}{5 + 2}(x + 2) = 2x + 4. \] Решаем систему: \[ -\frac{1}{5}x - 5 = 2x + 4 \quad \Rightarrow \quad -\frac{11}{5}x = 9 \quad \Rightarrow \quad x = -\frac{45}{11}. \] Подставляем в уравнение \(BC\): \[ y = 2 \cdot (-\frac{45}{11}) + 4 = \frac{-90 + 44}{11} = -\frac{46}{11}. \] Ответ: \(\left(-\frac{45}{11}; -\frac{46}{11}\right)\).
   
   
4. Найдите вместимость бассейна.
   Решение:
   Насос выкачивает \(\frac{3}{5}\) объёма \(V\) за 15 минут, тогда скорость работы: \[ \frac{\frac{3}{5}V}{15} = \frac{V}{25} \text{ л/мин}. \] За \(0{,}25\) ч (\(15\) минут) выкачано: \[ \frac{V}{25} \cdot 15 = \frac{3}{5}V. \] Осталось \(40\) л: \[ V - \frac{3}{5}V = \frac{2}{5}V = 40 \quad \Rightarrow \quad V = 100 \text{ л}. \] Ответ: \(100\) л.
   
   
5. Установите, какой из отрезков \(BO\) или \(OD\) длиннее.
   Решение:
   Углы треугольника \(ABC\): \[ \angle BAC = 100^\circ, \quad \angle ABC : \angle BCA = 3:1. \] Сумма углов: \[ 100 + 3x + x = 180 \quad \Rightarrow \quad x = 20^\circ. \] Углы: \(\angle ABC = 60^\circ\), \(\angle BCA = 20^\circ\).
   Биссектриса \(BD\) делит угол \(\angle ABC\) пополам: \[ \angle ABD = \angle DBC = 30^\circ. \] В треугольнике \(ABH\) (\(\angle H = 90^\circ\)): \[ AH = AB \cdot \sin 60^\circ. \] В треугольнике \(BOD\): \[ \frac{BO}{OD} = \frac{\sin \angle BDO}{\sin \angle BDA}. \] Поскольку \(\angle BDO > \angle BDA\), \(BO > OD\).
   Ответ: \(BO > OD\).
   
   
6. Найдите дроби.
   Решение:
   Дроби имеют вид \(\frac{k}{5k}\), \(\frac{3k}{5\cdot5k}\), \(\frac{7k}{11\cdot5k}\). Упрощаем: \[ \frac{1}{5}, \quad \frac{3}{25}, \quad \frac{7}{55}. \] Среднее арифметическое: \[ \frac{\frac{1}{5} + \frac{3}{25} + \frac{7}{55}}{3} = \frac{82}{275}. \] Проверка: \[ \frac{11 + 3 \cdot 11 + 7 \cdot 5}{275} = \frac{82}{275}. \] Ответ: \(\frac{1}{5}, \frac{3}{25}, \frac{7}{55}\).
   
   
7. Представьте число \(61\) в виде разности кубов.
   Решение:
   Пусть \(a^3 - b^3 = 61\). Разложим на множители: \[ (a - b)(a^2 + ab + b^2) = 61. \] Так как \(61\) простое, возможны варианты: \[ a - b = 1 \quad \text{и} \quad a^2 + ab + b^2 = 61. \] Подставляем \(a = b + 1\): \[ (b + 1)^2 + (b + 1)b + b^2 = 61 \quad \Rightarrow \quad 3b^2 + 3b + 1 = 61. \] Решаем квадратное уравнение: \[ 3b^2 + 3b - 60 = 0 \quad \Rightarrow \quad b^2 + b - 20 = 0. \] Корни \(b = 4\) (натуральное), тогда \(a = 5\).
   Проверяем: \(5^3 - 4^3 = 125 - 64 = 61\).
   Ответ: \(5^3 - 4^3 = 61\).