Лицей КФУ из 7 в 8 класс 2020 год вариант 3

ЛИЦЕЙ КФУ

2020 год

Вариант 3

1. Упростите выражение и найдите его значение при \(x = 30\), \(y = 5\): \[ \frac{(xy^3)^2 \,(-6xy)^6}{y^8 x^{13}}. \]
2. Решите уравнение: \[ (-3x)^3 \;-\; 3x(16 - 15x) \;=\; (2 - 3x)^3 \;-\; 4. \]
3. На координатной плоскости отмечены точки \(A(-1; 2)\), \(B(-4; 0)\), \(C(4; 2)\), \(D(3; -6)\). Найдите координаты точки пересечения прямых \(AD\) и \(BC\).
4. Насос выкачивает \(\tfrac{5}{6}\) воды из полного бассейна за \(7{,}5\) минут. Проработав \(0{,}12\) ч насос остановился, при этом в бассейне осталось \(18\) л воды. Найдите вместимость бассейна.
5. В треугольнике \(ABC\) проведены высота \(AH\) и биссектриса \(BD\), которые пересекаются в точке \(O\). Угол \(\angle BAC\) равен \(95^\circ\), а углы \(\angle ABC\) и \(\angle BCA\) относятся как \(12:5\). Выясните, какой из отрезков \(BO\) или \(OD\) длиннее.
6. Числители трёх дробей пропорциональны числам \(1, 2, 5\), а знаменатели пропорциональны соответственно числам \(1, 3, 7\). Среднее арифметическое этих дробей равно \(\tfrac{200}{441}\). Найдите эти дроби.
7. Представьте число \(37\) в виде разности кубов двух натуральных чисел и покажите, что это представление единственно.

Решения задач

1. Упростите выражение и найдите его значение при \(x = 30\), \(y = 5\): \[ \frac{(xy^3)^2 \,(-6xy)^6}{y^8 x^{13}}. \] Решение: Упростим выражение, используя свойства степеней: \[ \frac{x^2 y^6 \cdot (-6)^6 x^6 y^6}{y^8 x^{13}} = \frac{(-6)^6 x^{8} y^{12}}{y^8 x^{13}} = \frac{(-6)^6}{x^5} = \frac{6^6}{x^5}. \] При \(x = 30\), \(y = 5\): \[ \frac{6^6}{30^5} = \frac{46656}{24300000} = \frac{46656}{24300000} = 0,00192. \] Ответ: \(0,00192\).
   
   
2. Решите уравнение: \[ (-3x)^3 \;-\; 3x(16 - 15x) \;=\; (2 - 3x)^3 \;-\; 4. \] Решение: Раскроем скобки и упростим: \[ -27x^3 - 48x + 45x^2 = 8 - 36x + 54x^2 - 27x^3 - 4. \] Приведём подобные: \[ -27x^3 + 45x^2 - 48x = -27x^3 + 54x^2 - 36x + 4. \] Сократим \(-27x^3\) с обеих сторон: \[ 45x^2 - 48x = 54x^2 - 36x + 4. \] Перенесём все члены влево: \[ -9x^2 - 12x - 4 = 0. \] Решаем квадратное уравнение: \[ D = 144 - 144 = 0, \quad x = \frac{12}{-18} = -\frac{2}{3}. \] Ответ: \(-\frac{2}{3}\).
   
   
3. Найдите координаты точки пересечения прямых \(AD\) и \(BC\). Точки: \(A(-1; 2)\), \(B(-4; 0)\), \(C(4; 2)\), \(D(3; -6)\). Решение: Уравнение прямой \(AD\): \[ k = \frac{-6 - 2}{3 + 1} = -2, \quad y - 2 = -2(x + 1) \Rightarrow y = -2x. \] Уравнение прямой \(BC\): \[ k = \frac{2 - 0}{4 + 4} = 0,25, \quad у = 0,25(x + 4) \Rightarrow y = 0,25x + 1. \] Точка пересечения: \[ -2x = 0,25x + 1 \Rightarrow x = -\frac{4}{9}, \quad y = \frac{8}{9}. \] Ответ: \(\left(-\frac{4}{9}; \frac{8}{9}\right)\).
   
   
4. Используя скорость насоса, найдём вместимость бассейна. Насос выкачивает \(\frac{5}{6}V\) за \(7,5\) минут, значит за 1 час (\(0,12\) ч =\(7,2\) мин) он выкачает: \[ \frac{5}{6}V \cdot \frac{7,2}{7,5} = 0,96V \cdot \frac{5}{6} = 0,8V. \] Осталось \(18\) л: \[ V - 0,8V = 18 \Rightarrow 0,2V = 18 \Rightarrow V = 90\, \text{л}. \] Ответ: \(90\) л.
   
   
5. В треугольнике \(ABC\): Углы: \[ 95^\circ + 12k + 5k = 180^\circ \Rightarrow k = 5. \] \(\angle ABC = 60^\circ\), \(\angle BCA = 25^\circ\). Отношение \(BO:OD\) определяется свойствами биссектрисы: \[ \frac{BO}{OD} = \frac{AB}{AD} > 1. \] Ответ: \(BO > OD\).
   
   
6. Пусть дроби: \(\frac{a}{b}\), \(\frac{2a}{3b}\), \(\frac{5a}{7b}\). Среднее арифметическое: \[ \frac{\frac{a}{b} + \frac{2a}{3b} + \frac{5a}{7b}}{3} = \frac{200}{441}. \] Решая, находим \(\frac{a}{b} = \frac{5}{7}\). Дроби: \(\frac{35}{147}\), \(\frac{70}{441}\), \(\frac{175}{441}\). Ответ: \(\frac{35}{147}\), \(\frac{70}{441}\), \(\frac{175}{441}\).
   
   
7. Нужно найти \(a, b \in \mathbb{N}\) такие, что \(a^3 - b^3 = 37\). Проверяя малые числа: \[ 4^3 - 3^3 = 64 - 27 = 37. \] Единственное решение: \(4^3 - 3^3 = 37\). Ответ: \(4^3 - 3^3\).