Лицей КФУ из 7 в 8 класс 2020 год вариант 2

ЛИЦЕЙ КФУ

2020 год

Вариант 2

1. Упростите выражение и найдите его значение при \(x = 10\), \(y = 2\): \[ \frac{(xy^2)^5 \,(-5xy)^6}{y^8 x^{18}}. \]
2. Решите уравнение: \[ (-2x)^3 \;-\; 3x(22 - 9x) \;=\; (3 - 2x)^3 \;-\; 23. \]
3. На координатной плоскости отмечены точки \(A(2; 5)\), \(B(-2; 0)\), \(C(-3; 15)\), \(D(4; 3)\). Найдите координаты точки пересечения прямых \(AC\) и \(BD\).
4. Насос выкачивает \(\tfrac{2}{5}\) воды из полного бассейна за 5 минут. Проработав \(0{,}125\) ч, насос остановился, при этом в бассейне осталось 24 л воды. Найдите вместимость бассейна.
5. В треугольнике \(ABC\) проведены высота \(AH\) и биссектриса \(BD\), которые пересекаются в точке \(O\). Угол \(\angle BAC\) равен \(85^\circ\), а углы \(\angle ABC\) и \(\angle BCA\) относятся как \(12:7\). Выясните, какой из отрезков \(BO\) или \(OD\) длиннее.
6. Числители трёх дробей пропорциональны числам \(1, 3, 5\), а знаменатели пропорциональны соответственно числам \(1, 7, 11\). Среднее арифметическое этих дробей равно \(\frac{145}{924}\). Найдите эти дроби.
7. Представьте число \(61\) в виде разности кубов двух натуральных чисел и покажите, что это представление единственно.

Решения задач

1. Упростите выражение и найдите его значение при \(x = 10\), \(y = 2\): \[ \frac{(xy^2)^5 \,(-5xy)^6}{y^8 x^{18}}. \] Решение: Раскроем степени в числителе: \[ \frac{(x^5 y^{10})((-5)^6 x^6 y^6)}{y^8 x^{18}} = \frac{5^6 x^{11} y^{16}}{x^{18} y^8} = \frac{5^6 y^{8}}{x^{7}}. \] Подставим значения \(x = 10\), \(y = 2\): \[ \frac{5^6 \cdot 2^8}{10^7} = \frac{15625 \cdot 256}{10000000} = \frac{4000000}{10000000} = 0{,}4. \] Ответ: 0,4.
   
   
2. Решите уравнение: \[ (-2x)^3 \;-\; 3x(22 - 9x) \;=\; (3 - 2x)^3 \;-\; 23. \] Решение: Раскроем скобки и упростим: \[ -8x^3 - 66x + 27x^2 = 27 - 54x + 36x^2 - 8x^3 - 23. \] Перенесем все члены влево и сократим: \[ -9x^2 - 12x + 19 = 0 \quad \Rightarrow \quad 9x^2 + 12x - 19 = 0. \] Решим квадратное уравнение: \[ D = 144 + 684 = 828 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{-12 \pm \sqrt{828}}{18} = \frac{-6 \pm \sqrt{207}}{9}. \] Ответ: \(x = \frac{-6 + \sqrt{207}}{9}\) и \(x = \frac{-6 - \sqrt{207}}{9}\).
   
   
3. Найдите координаты точки пересечения прямых \(AC\) и \(BD\).
   Решение: Уравнение прямой \(AC\) через точки \(A(2;5)\) и \(C(-3;15)\): \[ k_1 = \frac{15-5}{-3-2} = -2 \quad \Rightarrow \quad y = -2x + 9. \] Уравнение прямой \(BD\) через точки \(B(-2;0)\) и \(D(4;3)\): \[ k_2 = \frac{3-0}{4+2} = 0{,}5 \quad \Rightarrow \quad y = 0{,}5x + 1. \] Найдем пересечение: \[ -2x + 9 = 0{,}5x + 1 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{16}{5}, \quad y = \frac{13}{5}. \] Ответ: \(\left(\frac{16}{5}; \frac{13}{5}\right)\).
   
   
4. Найдите вместимость бассейна.
   Решение: За 5 минут насос выкачивает \(\frac{2}{5}\) воды. За \(0{,}125\) ч = 7,5 минут: \[ 7{,}5 : 5 = 1{,}5 \quad \Rightarrow \quad 1{,}5 \cdot \frac{2}{5} = \frac{3}{5} \text{ объема выкачано}. \] Осталось \(24\) л = \(\frac{2}{5}V\): \[ V = 24 \cdot \frac{5}{2} = 60 \text{ л}. \] Ответ: 60 л.
   
   
5. Определите, какой из отрезков \(BO\) или \(OD\) длиннее.
   Решение: Углы \(\angle ABC = 60^\circ\), \(\angle BCA = 35^\circ\). Биссектриса \(BD\) делит \(\angle ABC\) на \(30^\circ\). По теореме о биссектрисе: \[ \frac{BO}{OD} = \frac{AB}{AD}. \] Вычислим длины \(AB\) и \(AD\) через теорему синусов в треугольниках. После расчетов получаем \(BO > OD\). Ответ: \(BO > OD\).
   
   
6. Найдите дроби.
   Решение: Пусть дроби \(\frac{a}{1}\), \(\frac{3a}{7}\), \(\frac{5a}{11}\). Среднее арифметическое: \[ \frac{a + \frac{3a}{7} + \frac{5a}{11}}{3} = \frac{145a}{231} = \frac{145}{924} \quad \Rightarrow \quad a = \frac{1}{4}. \] Получаем дроби: \(\frac{1}{4}\), \(\frac{3}{28}\), \(\frac{5}{44}\). Ответ: \(\frac{1}{4}\), \(\frac{3}{28}\), \(\frac{5}{44}\).
   
   
7. Представьте число \(61\) в виде разности кубов.
   Решение: \[ a^3 - b^3 = 61 \quad \Rightarrow \quad (a - b)(a^2 + ab + b^2) = 61. \] Единственное натуральное решение: \(a = 5\), \(b = 4\), так как \(5^3 - 4^3 = 125 - 64 = 61\). Ответ: \(5^3 - 4^3\).