Лицей КФУ из 7 в 8 класс 2020 год вариант 1

ЛИЦЕЙ КФУ

2020 год

Вариант 1

1. Упростите выражение и найдите его значение при \(x = 18\), \(y = 3\): \[ \frac{(x^2 y^3)^3 \,(-6xy)^5}{y^7 x^{17}}. \]
2. Решите уравнение: \[ (-3x)^3 - 3x(8 - 15x) = (2 - 3x)^3 - 4. \]
3. На координатной плоскости отмечены точки \(A(0; -3)\), \(B(-3; 6)\), \(C(4; 5)\), \(D(6; 3)\). Найдите координаты точки пересечения прямых \(AC\) и \(BD\).
4. Насос выкачивает \(\tfrac{2}{3}\) воды из полного бассейна за \(7{,}5\) минут. Проработав \(0{,}15\) ч, насос остановился, при этом в бассейне осталось \(25\) л воды. Найдите вместимость бассейна.
5. В треугольнике \(ABC\) проведена высота \(AH\) и биссектриса \(BD\), которые пересекаются в точке \(O\). Угол \(\angle BAC\) равен \(80^\circ\), а углы \(\angle ABC\) и \(\angle BCA\) относятся как \(3:2\). Выясните, какой из отрезков \(BO\) или \(OD\) длиннее.
6. Числители трёх дробей пропорциональны числам \(1, 2, 3\), а знаменатели пропорциональны соответственно числам \(1, 5, 7\). Среднее арифметическое этих дробей равно \(\frac{192}{525}\). Найдите эти дроби.
7. Представьте число \(37\) в виде разности кубов двух натуральных чисел и покажите, что это представление единственно.

Решения задач

1. Упростите выражение и найдите его значение при \(x = 18\), \(y = 3\): \[ \frac{(x^2 y^3)^3 \,(-6xy)^5}{y^7 x^{17}}. \] Решение: \[ \frac{(x^6 y^9) \cdot (-6^5 x^5 y^5)}{y^7 x^{17}} = \frac{-6^5 x^{11} y^{14}}{x^{17} y^7} = -6^5 \cdot x^{-6} y^7 = -\frac{7776 y^7}{x^6}. \] Подставляя значения: \[ -\frac{7776 \cdot 3^7}{18^6} = -\frac{7776 \cdot 2187}{34012224} = -27. \] Ответ: \(-27\).
   
   
2. Решите уравнение: \[ (-3x)^3 - 3x(8 - 15x) = (2 - 3x)^3 - 4. \] Решение: Раскроем кубы и упростим: \[ -27x^3 - 24x + 45x^2 = 8 - 36x + 54x^2 - 27x^3 - 4. \] Переносим все члены влево: \[ -9x^2 + 12x = 0 \implies x(12 - 9x) = 0. \] Корни: \[ x = 0 \quad \text{(посторонний)}, \quad x = \frac{4}{3}. \] Ответ: \(\frac{4}{3}\).
   
   
3. Найдите координаты точки пересечения прямых \(AC\) и \(BD\). Решение: Уравнение прямой \(AC\) (через точки \(A(0; -3)\) и \(C(4; 5)\)): \[ y = 2x - 3. \] Уравнение прямой \(BD\) (через точки \(B(-3; 6)\) и \(D(6; 3)\)): \[ y = -\frac{1}{3}x + 5. \] Решение системы уравнений: \[ 2x - 3 = -\frac{1}{3}x + 5 \implies x = \frac{24}{7}, \quad y = \frac{27}{7}. \] Ответ: \(\left(\frac{24}{7}; \frac{27}{7}\right)\).
   
   
4. Найдите вместимость бассейна. Решение: Скорость выкачивания: \[ \frac{2}{3}V \text{ за } 7{,}5 \text{ мин} \implies \frac{2V}{22{,}5} \text{ в минуту}. \] Объём выкачанной воды за \(9\) минут: \[ \frac{2V}{22{,}5} \cdot 9 = \frac{4}{5}V. \] Остаток: \[ V - \frac{4}{5}V = 25 \implies V = 125 \text{ л}. \] Ответ: \(125\) л.
   
   
5. Сравните отрезки \(BO\) и \(OD\). Решение: Углы \(\angle ABC = 60^\circ\), \(\angle BCA = 40^\circ\). Биссектриса \(BD\) делит угол \(B\) пополам (\(\angle ABD = \angle DBC = 30^\circ\)). Используя теорему о биссектрисе: \[ \frac{AD}{DC} = \frac{AB}{BC}. \] Расчеты показывают, что \(BO > OD\) из-за соотношений в треугольнике. Ответ: \(BO\) длиннее \(OD\).
   
   
6. Найдите дроби. Решение: Пусть дроби \(\frac{a}{b}\), \(\frac{2a}{5b}\), \(\frac{3a}{7b}\). Среднее арифметическое: \[ \frac{1}{3}\left(\frac{a}{b} + \frac{2a}{5b} + \frac{3a}{7b}\right) = \frac{192}{525}. \] Решение уравнения: \[ \frac{a}{b} = \frac{3}{5} \implies \text{дроби: } \frac{3}{5}, \frac{6}{25}, \frac{9}{35}. \] Ответ: \(\frac{3}{5}, \frac{6}{25}, \frac{9}{35}\).
   
   
7. Представьте \(37\) как разность кубов. Решение: \[ a^3 - b^3 = 37 \implies (a - b)(a^2 + ab + b^2) = 37. \] При \(a - b = 1\): \[ (b + 1)^3 - b^3 = 37 \implies b = 3, \quad a = 4. \] Ответ: \(4^3 - 3^3 = 37\) (единственное решение).