Лицей КФУ из 7 в 8 класс 2019 год вариант 4
Печать
youit.school ©
ЛИЦЕЙ КФУ
2019 год
Вариант 4
- Вычислите: \[ \bigl(3{,}04 : \tfrac{1}{30} - 16{,}03 : \tfrac{7}{20}\bigr)\;\cdot\tfrac{1}{5} \;+\;0{,}072\;\cdot\;\tfrac{1}{3}. \]
- Найдите значение выражения: \[ \frac{9^7 \cdot 81^4}{3^{28}}. \]
- При каком значении \(x\) произведение \[ (8x - 3)\,(15 + 4(2x - 3)) \] на 10 больше, чем значение выражения \[ (1 - 8x)^2 + 4x + 16? \]
- Два мотоциклиста движутся по кольцевой трассе протяжённостью \(3\) км с постоянными скоростями навстречу друг другу и встречаются каждые \(5\) минут. Если бы они с теми же скоростями ехали в одном направлении, то встречались бы каждые \(25\) минут. Найдите скорости движения обоих мотоциклистов.
- В треугольнике \(ABC\) проведены биссектриса \(AD\) и высота \(CH\), причём точка \(H\) лежит на отрезке \(AB\). Угол \(DAC\) в 3 раза меньше угла \(ABC\), а угол \(BCH\) и внешний угол при вершине \(C\) относятся как \(3:20\) соответственно. Найдите углы треугольника \(ABC\).
- У Васи есть 20 купюр номиналом 10, 20 и 30 рублей. Вася посчитал свои деньги и понял, что всего у него 450 рублей. Докажите, что 30‑рублевых купюр у Васи больше, чем 10‑рублевых.
- На какое целое число нужно умножить 9999, чтобы получить число, состоящее только из единиц?
Материалы школы Юайти
youit.school ©
Решения задач
- Вычислите:
\[
\bigl(3{,}04 : \tfrac{1}{30} - 16{,}03 : \tfrac{7}{20}\bigr)\;\cdot\tfrac{1}{5}
\;+\;0{,}072\;\cdot\;\tfrac{1}{3}.
\]
Решение:
\[
(3{,}04 \cdot 30 - 16{,}03 \cdot \tfrac{20}{7}) \cdot \tfrac{1}{5} + 0{,}024 = (91{,}2 - 45{,}8) \cdot 0{,}2 + 0{,}024 = 9{,}08 + 0{,}024 = 9{,}104.
\]
Ответ: \(9{,}104\).
- Найдите значение выражения:
\[
\frac{9^7 \cdot 81^4}{3^{28}}.
\]
Решение:
\[
\frac{(3^2)^7 \cdot (3^4)^4}{3^{28}} = \frac{3^{14} \cdot 3^{16}}{3^{28}} = \frac{3^{30}}{3^{28}} = 3^2 = 9.
\]
Ответ: \(9\).
- При каком значении \(x\) произведение
\[
(8x - 3)\,(15 + 4(2x - 3))
\]
на 10 больше, чем значение выражения
\[
(1 - 8x)^2 + 4x + 16?
\]
Решение:
\[
(8x - 3)(8x + 3) - [(1 - 8x)^2 + 4x + 16] = 10,
\]
\[
64x^2 - 9 - (64x^2 - 12x + 17) = 10 \quad \Rightarrow \quad 12x - 26 = 10 \quad \Rightarrow \quad x = 3.
\]
Ответ: \(3\).
- Два мотоциклиста движутся по кольцевой трассе протяжённостью \(3\) км. Встречная скорость:
\[
v_1 + v_2 = \frac{3}{5/60} = 36\ \text{км/ч}.
\]
В одном направлении:
\[
v_1 - v_2 = \frac{3}{25/60} = 7{,}2\ \text{км/ч}.
\]
Решая систему:
\[
\begin{cases}
v_1 + v_2 = 36, \\
v_1 - v_2 = 7{,}2
\end{cases} \quad \Rightarrow \quad v_1 = 21{,}6\ \text{км/ч}, \quad v_2 = 14{,}4\ \text{км/ч}.
\]
Ответ: \(21{,}6\ \text{и}\ 14{,}4\ \text{км/ч}\).
- Обозначим углы: \(\angle ABC = 3\alpha\), \(\angle DAC = \alpha\). Внешний угол при \(C\): \(\angle A + \angle B = 20\beta\). Угол \(BCH = 3\beta\). Из условия:
\[
5\alpha = 20\beta \quad \Rightarrow \quad \alpha = 4\beta.
\]
Угол \(C = 180^\circ - 2\alpha - 3\alpha = 180^\circ - 5\alpha\). Сумма углов:
\[
\angle BAC = 2\alpha, \quad \angle ABC = 3\alpha, \quad \angle ACB = 180^\circ - 5\alpha.
\]
Решая уравнения, находим: \(\alpha = 12^\circ\), \(\beta = 3^\circ\).
Ответ: \(24^\circ\), \(36^\circ\), \(120^\circ\).
- Пусть \(x\), \(y\), \(z\) — 10-, 20-, 30-рублёвые купюры:
\[
\begin{cases}
x + y + z = 20, \\
10x + 20y + 30z = 450.
\end{cases}
\]
Вычитая уравнения:
\[
10y + 20z = 250 \quad \Rightarrow \quad y = 25 - 2z \quad \Rightarrow \quad x = z - 5.
\]
Так как \(x \geq 0\), то \(z \geq 5\) и \(z > x\).
- Число из единиц \(111\ldots111\) делится на \(9999\) при \(n = 12\) единиц: \[ 9999 \cdot 111122223333 = 111111111111. \] Ответ: \(111122223333\).
Материалы школы Юайти