Лицей КФУ из 7 в 8 класс 2019 год вариант 4

ЛИЦЕЙ КФУ

2019 год

Вариант 4

1. Вычислите: \[ \bigl(3{,}04 : \tfrac{1}{30} - 16{,}03 : \tfrac{7}{20}\bigr)\;\cdot\tfrac{1}{5} \;+\;0{,}072\;\cdot\;\tfrac{1}{3}. \]
2. Найдите значение выражения: \[ \frac{9^7 \cdot 81^4}{3^{28}}. \]
3. При каком значении \(x\) произведение \[ (8x - 3)\,(15 + 4(2x - 3)) \] на 10 больше, чем значение выражения \[ (1 - 8x)^2 + 4x + 16? \]
4. Два мотоциклиста движутся по кольцевой трассе протяжённостью \(3\) км с постоянными скоростями навстречу друг другу и встречаются каждые \(5\) минут. Если бы они с теми же скоростями ехали в одном направлении, то встречались бы каждые \(25\) минут. Найдите скорости движения обоих мотоциклистов.
5. В треугольнике \(ABC\) проведены биссектриса \(AD\) и высота \(CH\), причём точка \(H\) лежит на отрезке \(AB\). Угол \(DAC\) в 3 раза меньше угла \(ABC\), а угол \(BCH\) и внешний угол при вершине \(C\) относятся как \(3:20\) соответственно. Найдите углы треугольника \(ABC\).
6. У Васи есть 20 купюр номиналом 10, 20 и 30 рублей. Вася посчитал свои деньги и понял, что всего у него 450 рублей. Докажите, что 30‑рублевых купюр у Васи больше, чем 10‑рублевых.
7. На какое целое число нужно умножить 9999, чтобы получить число, состоящее только из единиц?

Решения задач

1. Вычислите: \[ \bigl(3{,}04 : \tfrac{1}{30} - 16{,}03 : \tfrac{7}{20}\bigr)\;\cdot\tfrac{1}{5} \;+\;0{,}072\;\cdot\;\tfrac{1}{3}. \] Решение: \[ (3{,}04 \cdot 30 - 16{,}03 \cdot \tfrac{20}{7}) \cdot \tfrac{1}{5} + 0{,}024 = (91{,}2 - 45{,}8) \cdot 0{,}2 + 0{,}024 = 9{,}08 + 0{,}024 = 9{,}104. \] Ответ: \(9{,}104\).
   
   
2. Найдите значение выражения: \[ \frac{9^7 \cdot 81^4}{3^{28}}. \] Решение: \[ \frac{(3^2)^7 \cdot (3^4)^4}{3^{28}} = \frac{3^{14} \cdot 3^{16}}{3^{28}} = \frac{3^{30}}{3^{28}} = 3^2 = 9. \] Ответ: \(9\).
   
   
3. При каком значении \(x\) произведение \[ (8x - 3)\,(15 + 4(2x - 3)) \] на 10 больше, чем значение выражения \[ (1 - 8x)^2 + 4x + 16? \] Решение: \[ (8x - 3)(8x + 3) - [(1 - 8x)^2 + 4x + 16] = 10, \] \[ 64x^2 - 9 - (64x^2 - 12x + 17) = 10 \quad \Rightarrow \quad 12x - 26 = 10 \quad \Rightarrow \quad x = 3. \] Ответ: \(3\).
   
   
4. Два мотоциклиста движутся по кольцевой трассе протяжённостью \(3\) км. Встречная скорость: \[ v_1 + v_2 = \frac{3}{5/60} = 36\ \text{км/ч}. \] В одном направлении: \[ v_1 - v_2 = \frac{3}{25/60} = 7{,}2\ \text{км/ч}. \] Решая систему: \[ \begin{cases} v_1 + v_2 = 36, \\ v_1 - v_2 = 7{,}2 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad v_1 = 21{,}6\ \text{км/ч}, \quad v_2 = 14{,}4\ \text{км/ч}. \] Ответ: \(21{,}6\ \text{и}\ 14{,}4\ \text{км/ч}\).
   
   
5. Обозначим углы: \(\angle ABC = 3\alpha\), \(\angle DAC = \alpha\). Внешний угол при \(C\): \(\angle A + \angle B = 20\beta\). Угол \(BCH = 3\beta\). Из условия: \[ 5\alpha = 20\beta \quad \Rightarrow \quad \alpha = 4\beta. \] Угол \(C = 180^\circ - 2\alpha - 3\alpha = 180^\circ - 5\alpha\). Сумма углов: \[ \angle BAC = 2\alpha, \quad \angle ABC = 3\alpha, \quad \angle ACB = 180^\circ - 5\alpha. \] Решая уравнения, находим: \(\alpha = 12^\circ\), \(\beta = 3^\circ\). Ответ: \(24^\circ\), \(36^\circ\), \(120^\circ\).
   
   
6. Пусть \(x\), \(y\), \(z\) — 10-, 20-, 30-рублёвые купюры: \[ \begin{cases} x + y + z = 20, \\ 10x + 20y + 30z = 450. \end{cases} \] Вычитая уравнения: \[ 10y + 20z = 250 \quad \Rightarrow \quad y = 25 - 2z \quad \Rightarrow \quad x = z - 5. \] Так как \(x \geq 0\), то \(z \geq 5\) и \(z > x\).
   
   
7. Число из единиц \(111\ldots111\) делится на \(9999\) при \(n = 12\) единиц: \[ 9999 \cdot 111122223333 = 111111111111. \] Ответ: \(111122223333\).