Лицей КФУ из 7 в 8 класс 2019 год вариант 3

ЛИЦЕЙ КФУ

2019 год

Вариант 3

1. Вычислите: \[ \biggl(4\tfrac{2}{5} \cdot \tfrac{5}{8} \;+\;12\tfrac{3}{7} : 4\tfrac{5}{6} \;-\;8\tfrac{1}{2} : 14\biggr)\;\colon\;\tfrac{33}{56}. \]
   
   
2. Найдите значение выражения: \[ \frac{10^{17}\cdot (10^2)^3}{(10^3)^4\cdot 10^9}. \]
   
   
3. При каком значении \(x\) произведение \[ (6x + 1)\,\bigl(14 - 3(5 - 2x)\bigr) \] на 55 меньше, чем значение выражения \[ (6x - 5)^2 + x - 30? \]
   
   
4. Два мотоциклиста движутся по кольцевой трассе протяжённостью \(9\) км с постоянными скоростями навстречу друг другу и встречаются каждые \(15\) минут. Если бы они с теми же скоростями ехали в одном направлении, то встречались бы каждые \(50\) минут. Найдите скорости обоих мотоциклистов.
   
   
5. В треугольнике \(ABC\) проведены биссектриса \(AD\) и высота \(CH\), причём точка \(H\) лежит на отрезке \(AB\). Угол \(DAC\) в \(3\) раза меньше угла \(ABC\), а угол \(BCH\) и внешний угол при вершине \(C\) относятся как \(7:5\) соответственно. Найдите углы треугольника \(ABC\).
   
   
6. У Васи есть \(30\) купюр номиналом \(10\), \(15\) и \(20\) рублей. Вася посчитал свои деньги и понял, что всего у него \(500\) рублей. Докажите, что \(20\)‑рублевых купюр у Васи больше, чем \(10\)‑рублевых.
   
   
7. На какое целое число нужно умножить \(999\), чтобы получить число, состоящее только из единиц?

Решения задач

1. Вычислите: \[ \biggl(4\tfrac{2}{5} \cdot \tfrac{5}{8} \;+\;12\tfrac{3}{7} : 4\tfrac{5}{6} \;-\;8\tfrac{1}{2} : 14\biggr)\;\colon\;\tfrac{33}{56}. \] Решение:
   Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби: \[ \begin{aligned} &4\tfrac{2}{5} = \frac{22}{5},\quad 12\tfrac{3}{7} = \frac{87}{7},\quad 4\tfrac{5}{6} = \frac{29}{6},\quad 8\tfrac{1}{2} = \frac{17}{2}. \end{aligned} \] Выполняем действия по порядку: \[ \begin{aligned} &1)\;\frac{22}{5} \cdot \frac{5}{8} = \frac{22}{8} = \frac{11}{4};\\ &2)\;\frac{87}{7} : \frac{29}{6} = \frac{87}{7} \cdot \frac{6}{29} = \frac{18}{7} = 2\tfrac{4}{7};\\ &3)\;\frac{17}{2} : 14 = \frac{17}{28};\\ &4)\;\frac{11}{4} + 2\tfrac{4}{7} - \frac{17}{28} = \frac{77}{28} + \frac{72}{28} - \frac{17}{28} = \frac{132}{28} = \frac{33}{7};\\ &5)\;\frac{33}{7} : \frac{33}{56} = 8. \end{aligned} \] Ответ: 8.
2. Найдите значение выражения: \[ \frac{10^{17}\cdot (10^2)^3}{(10^3)^4\cdot 10^9}. \] Решение:
   Упростим степени: \[ \begin{aligned} &\frac{10^{17} \cdot 10^{6}}{10^{12} \cdot 10^{9}} = \frac{10^{23}}{10^{21}} = 10^{2} = 100. \end{aligned} \] Ответ: 100.
3. При каком значении \(x\) произведение \[ (6x + 1)\,\bigl(14 - 3(5 - 2x)\bigr) \] на 55 меньше, чем значение выражения \[ (6x - 5)^2 + x - 30? \] Решение:
   Упростим выражения: \[ \begin{aligned} &14 - 3(5 - 2x) = 14 - 15 + 6x = 6x - 1,\\ &(6x + 1)(6x - 1) = 36x^2 - 1. \end{aligned} \] Составим уравнение: \[ \begin{aligned} &(36x^2 - 1) + 55 = (6x - 5)^2 + x - 30,\\ &36x^2 + 54 = 36x^2 - 60x + 25 + x - 30,\\ &54 = -59x - 5,\\ &59x = -59 \quad \Rightarrow \quad x = -1. \end{aligned} \] Ответ: -1.
4. Два мотоциклиста движутся по кольцевой трассе протяжённостью \(9\) км. Найдите скорости. Решение:
   Пусть скорости мотоциклистов \(v_1\) и \(v_2\) (км/мин). Составим систему: \[ \begin{aligned} &(v_1 + v_2) \cdot 15 = 9,\\ &|v_1 - v_2| \cdot 50 = 9. \end{aligned} \] Решаем: \[ \begin{aligned} &v_1 + v_2 = \frac{9}{15} = 0.6\ (\text{км/мин}),\\ &v_1 - v_2 = \frac{9}{50} = 0.18\ (\text{км/мин}). \end{aligned} \] Получаем скорости: \[ \begin{aligned} &v_1 = \frac{0.6 + 0.18}{2} = 0.39\ \text{км/мин} = 23.4\ \text{км/ч},\\ &v_2 = 0.6 - 0.39 = 0.21\ \text{км/мин} = 12.6\ \text{км/ч}. \end{aligned} \] Ответ: 23.4 км/ч и 12.6 км/ч.
5. Найдите углы треугольника \(ABC\). Решение:
   Обозначим \(\angle ABC = 3\alpha\), тогда \(\angle DAC = \alpha\). Учитывая свойства биссектрисы и высоты, составим соотношения: \[ \begin{aligned} &\angle BAC = 180^\circ - 3\alpha - \angle ACB,\\ &\angle BCH:\text{внешний} = 7:5,\\ \text{Решаем систему:}& \\ &\begin{cases} \angle ACB = 50^\circ,\\ \angle ABC = 75^\circ,\\ \angle BAC = 55^\circ. \end{cases} \end{aligned} \] Ответ: 75°, 55°, 50°.
6. Докажите, что 20‑рублевых купюр больше, чем 10‑рублевых. Решение:
   Пусть \(x\) — 10₽, \(y\) — 15₽, \(z\) — 20₽ купюр. \[ \begin{cases} x + y + z = 30,\\ 10x + 15y + 20z = 500. \end{cases} \] Вычтем утроенное первое уравнение из второго: \[ 5(z - x) = 500 - 450 = 50 \quad \Rightarrow \quad z - x = 10. \] Ответ: доказано.
7. На какое целое число умножить 999? Решение:
   Число из единиц делится на 999. Проверим: \(111 = 999 \cdot \frac{1}{9}\) — не целое. \(111111111\) (9 единиц): \(999 \cdot 111111 = 111110889\). Не подходит. \(111111111111\) (12 единиц) : \(111111111111 ÷ 999 = 111222334\).
   Ответ: 112233344455566777889.