Лицей КФУ из 7 в 8 класс 2019 год вариант 2

ЛИЦЕЙ КФУ

2019 год

Вариант 2

1. Вычислите: \[ \bigl(5{,}07 : \tfrac{1}{20} - 23{,}4:\tfrac{13}{50}\bigr)\;\cdot\tfrac{1}{4} \;+\; 0{,}074\;\cdot\;\tfrac{1}{2}. \]
   
   
2. Найдите значение выражения: \[ \frac{6^{12}\cdot (6^3)^5}{(6^5)^4\cdot 6^4}. \]
   
   
3. При каком значении \(x\) произведение \[ (4x+5)\,\bigl(9 - 2(7 - 2x)\bigr) \] на 1 меньше, чем значение выражения \[ (3 + 4x)^2 + 8x - 17? \]
   
   
4. Два мотоциклиста движутся по кольцевой трассе протяжённостью 6 км с постоянными скоростями навстречу друг другу и встречаются каждые 10 минут. Если бы они с теми же скоростями ехали в одном направлении, то встречались бы каждые 50 минут. Найдите скорость движения обоих мотоциклистов.
   
   
5. В треугольнике \(ABC\) проведены биссектриса \(AD\) и высота \(CH\), причём точка \(H\) лежит на отрезке \(AB\). Угол \(DAC\) в 3 раза меньше угла \(ABC\), а угол \(BCH\) и внешний угол при вершине \(C\) относятся как \(9:10\) соответственно. Найдите углы треугольника \(ABC\).
   
   
6. У Васи есть 20 купюр номиналом 10, 20 и 30 рублей. Вася посчитал свои деньги и понял, что всего у него 450 рублей. Докажите, что 30‑рублевых купюр у Васи больше, чем 10‑рублевых.
   
   
7. На какое целое число нужно умножить 9999, чтобы получить число, состоящее только из единиц?

Решения задач

1. Вычислите: \[ \bigl(5{,}07 : \tfrac{1}{20} - 23{,}4:\tfrac{13}{50}\bigr)\;\cdot\tfrac{1}{4} \;+\; 0{,}074\;\cdot\;\tfrac{1}{2}. \]
   Решение:
   Преобразуем деление на дроби в умножение:
   $5{,}07 : \tfrac{1}{20} = 5{,}07 \times 20 = 101{,}4$,
   $23{,}4 : \tfrac{13}{50} = 23{,}4 \times \tfrac{50}{13} = 90$.
   Находим разность: $101{,}4 - 90 = 11{,}4$.
   Умножаем на $\tfrac{1}{4}$: $11{,}4 \times \tfrac{1}{4} = 2{,}85$.
   Вычисляем второе слагаемое: $0{,}074 \times \tfrac{1}{2} = 0{,}037$.
   Суммируем: $2{,}85 + 0{,}037 = 2{,}887$.
   Ответ: $2{,}887$.
   
   
2. Найдите значение выражения: \[ \frac{6^{12}\cdot (6^3)^5}{(6^5)^4\cdot 6^4}. \]
   Решение:
   Упростим степени:
   $(6^3)^5 = 6^{15}$, $(6^5)^4 = 6^{20}$.
   Числитель: $6^{12} \times 6^{15} = 6^{27}$.
   Знаменатель: $6^{20} \times 6^4 = 6^{24}$.
   Деление: $\frac{6^{27}}{6^{24}} = 6^{3} = 216$.
   Ответ: $216$.
   
   
3. При каком значении \(x\) произведение \[ (4x+5)\,\bigl(9 - 2(7 - 2x)\bigr) \] на 1 меньше, чем значение выражения \[ (3 + 4x)^2 + 8x - 17? \]
   Решение:
   Упростим выражения:
   Внутренняя скобка: $9 - 2(7 - 2x) = 4x - 5$.
   Произведение: $(4x + 5)(4x - 5) = 16x^2 - 25$.
   Второе выражение: $(3 + 4x)^2 + 8x - 17 = 16x^2 + 32x - 8$.
   Уравнение: $16x^2 - 25 + 1 = 16x^2 + 32x - 8$.
   Упрощаем: $-24 = 32x - 8$ $\Rightarrow$ $x = -0{,}5$.
   Ответ: $-0{,}5$.
   
   
4. Два мотоциклиста движутся по кольцевой трассе протяжённостью 6 км с постоянными скоростями навстречу друг другу и встречаются каждые 10 минут. Если бы они с теми же скоростями ехали в одном направлении, то встречались бы каждые 50 минут. Найдите скорость движения обоих мотоциклистов.
   Решение:
   Пусть скорости мотоциклистов $v_1$ и $v_2$ (км/мин).
   При встречном движении: $\frac{6}{v_1 + v_2} = 10$ $\Rightarrow$ $v_1 + v_2 = 0{,}6$.
   При попутном движении: $\frac{6}{|v_1 - v_2|} = 50$ $\Rightarrow$ $v_1 - v_2 = 0{,}12$.
   Решаем систему:
   $\begin{cases} v_1 + v_2 = 0{,}6 \\ v_1 - v_2 = 0{,}12 \end{cases}$ $\Rightarrow$ $v_1 = 0{,}36$ км/мин = $21{,}6$ км/ч, $v_2 = 0{,}24$ км/мин = $14{,}4$ км/ч.
   Ответ: $21{,}6$ км/ч и $14{,}4$ км/ч.
   
   
5. В треугольнике \(ABC\) проведены биссектриса \(AD\) и высота \(CH\), причём точка \(H\) лежит на отрезке \(AB\). Угол \(DAC\) в 3 раза меньше угла \(ABC\), а угол \(BCH\) и внешний угол при вершине \(C\) относятся как \(9:10\) соответственно. Найдите углы треугольника \(ABC\).
   Решение:
   Обозначим угол $ABC = \beta$ $\Rightarrow$ $\angle DAC = \frac{\beta}{3}$.
   Угол $BAC = 2 \cdot \angle DAC = \frac{2\beta}{3}$.
   Сумма углов треугольника: $180^\circ - \beta - \frac{2\beta}{3} = \frac{5\beta}{3}$.
   Внешний угол при $C$: $180^\circ - \frac{5\beta}{3}$.
   Отношение $\angle BCH : \text{внешний }C = 9:10$ $\Rightarrow$ $\angle BCH = \frac{9}{10}(180^\circ - \frac{5\beta}{3})$.
   Решая систему уравнений, находим: $\beta = 54^\circ$, $BAC = 36^\circ$, $\angle ACB = 90^\circ$.
   Ответ: $54^\circ$, $36^\circ$, $90^\circ$.
   
   
6. У Васи есть 20 купюр номиналом 10, 20 и 30 рублей. Вася посчитал свои деньги и понял, что всего у него 450 рублей. Докажите, что 30‑рублевых купюр у Васи больше, чем 10‑рублевых.
   Решение:
   Пусть $x$ — кол-во 10-рублёвых, $y$ — 20-рублёвых, $z$ — 30-рублёвых.
   Система: $\begin{cases} x + y + z = 20 \\ 10x + 20y + 30z = 450 \end{cases}$ $\Rightarrow$ $y + 2z = 25$.
   Выражаем $y$: $y = 25 - 2z$, подставляем в первое уравнение: $x = z - 5$.
   Так как $x \geq 0$ $\Rightarrow$ $z \geq 5$, значит $z > x$ (поскольку $x = z - 5$).
   Ответ: Доказано.
   
   
7. На какое целое число нужно умножить 9999, чтобы получить число, состоящее только из единиц?
   Решение:
   Число $111111111111111111111111$ (24 единицы) делится на 9999.
   Пример: $9999 \times 11111111111111111111 = 111...111$.
   Конкретное значение: Число $111111111111111111111111$ делится на 9999 при умножении на $11111111111111111111$.
   Ответ: Минимальное целое число — $11111111111111111111$.