8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Лицей КФУ из 7 в 8 класс 2018 год вариант 4

Сложность:
Дата экзамена: 2018
ЕГЭ 2026: Как подготовиться без паники и стресса?
7 сентября в 19:00
Спикер: Матвей Грицаев
Печать
youit.school ©

ЛИЦЕЙ КФУ


2018 год


Вариант 4



I. Арифметика

  1. Вычислить \(\bigl(3{,}2 + 2\dfrac{1}{1}{,}6\bigr)\,5 - 25\dfrac{5}{6}\colon 1\dfrac{2}{3}.\)
  2. Вычислить наиболее рациональным способом \[ \frac{11{,}2^3 - 4{,}3^3}{6{,}9} - 11{,}2^2 - 4{,}3^2. \]
  3. Витя подсчитал, что цена компьютерной мыши составляет 85% его денег, а цена коврика для мыши 25% его денег. Если бабушка добавит ему 92 рубля, то он сможет купить и мышку, и коврик. Сколько стоит компьютерная мышь и сколько стоит коврик?


II. Алгебра

  1. Решить уравнения:
    1. \(\displaystyle \frac{5x-1}{4} - \frac{x-2}{3} = 10 - x.\)
    2. \(x\cdot|x| + 2|x| - 6 - 3x = 0.\)
  2. Упростить выражение и найти его значение при \(a=-0{,}2\), \(b=-1\): \[ 3\bigl(4a - b\bigr)^2 - 2\bigl(a - b\bigr)\bigl(a + b\bigr) + 4\bigl(a + 3b\bigr)^2. \]
  3. Запишите уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых \[ \begin{cases} 3x + y - 17 = 0,\\ 4x - y = -3 \end{cases} \] и параллельной графику уравнения \[ 4(x - y + 1) + x = 7(x - 2) - 3y. \]
  4. В саду растут яблони, груши и сливы, всего 623 дерева. Известно, что яблонь в полтора раза меньше, чем слив, а груш на 30% больше, чем слив. Определите количество деревьев каждого вида.


III. Геометрия

  1. Два угла равнобедренного треугольника пропорциональны числам 14 и 8. Найдите угол между биссектрисами неравных углов.
  2. В прямоугольном треугольнике один из углов равен \(30^\circ\). Докажите, что в этом треугольнике отрезок перпендикуляра, проведённого к гипотенузе через её середину до пересечения с катетом, вдвое меньше большего катета.
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Вычислить \(\bigl(3{,}2 + 2{,}625\bigr) \cdot 5 - 25\dfrac{5}{6}\div 1\dfrac{2}{3}.\)
    Решение: Исправляем опечатку в записи смешанной дроби. Исходное выражение: \[ (3{,}2 + 2{,}625) \cdot 5 - \frac{155}{6} \div \frac{5}{3} \]
    • Сложение: \(3{,}2 + 2{,}625 = 5{,}825\)
    • Умножение: \(5{,}825 \cdot 5 = 29{,}125\)
    • Деление дробей: \(\frac{155}{6} \div \frac{5}{3} = \frac{155}{6} \cdot \frac{3}{5} = \frac{31}{2} = 15{,}5\)
    • Вычитание: \(29{,}125 - 15{,}5 = 13{,}625\)
    Ответ: \(13{,}625\).

  2. Вычислить наиболее рациональным способом: \[ \frac{11{,}2^3 - 4{,}3^3}{6{,}9} - 11{,}2^2 - 4{,}3^2. \]
    Решение: Применяем формулу разности кубов: \[ \frac{(11{,}2 - 4{,}3)(11{,}2^2 + 11{,}2 \cdot 4{,}3 + 4{,}3^2)}{6{,}9} - (11{,}2^2 + 4{,}3^2) \]
    • Сокращаем \(11{,}2 - 4{,}3 = 6{,}9\) с знаменателем
    • Получаем: \(11{,}2 \cdot 4{,}3 = 48{,}16\)
    Ответ: \(48{,}16\).

  3. Витя подсчитал, что цена компьютерной мыши составляет 85% его денег, а цена коврика для мыши — 25% его денег. Если бабушка добавит ему 92 рубля, то он сможет купить и мышку, и коврик. Сколько стоит компьютерная мышь и сколько стоит коврик?
    Решение:
    • Пусть у Вити \(x\) рублей: \[ 0{,}85x + 0{,}25x = x + 92 \implies 1{,}1x = x + 92 \implies x = 920 \]
    • Мышь: \(0{,}85 \cdot 920 = 782\) руб.
    • Коврик: \(0{,}25 \cdot 920 = 230\) руб.
    Ответ: мышь — 782 руб., коврик — 230 руб.

  4. Решить уравнения:
    1. \(\frac{5x-1}{4} - \frac{x-2}{3} = 10 - x.\)
      Решение:
      • Умножаем на 12: \(3(5x - 1) - 4(x - 2) = 12(10 - x)\)
      • Упрощаем: \(11x + 5 = 120 - 12x \implies x = 5\)
      Ответ: \(5\).
    2. \(x\cdot|x| + 2|x| - 6 - 3x = 0.\)
      Решение:
      • \(x \geq 0\): \(x^2 - x - 6 = 0 \implies x = 3\)
      • \(x < 0\): \(-x^2 -5x -6 = 0 \implies x = -2, -3\)
      Ответ: \(3\); \(-2\); \(-3\).


  5. Упростить выражение и найти его значение: \[ 3(4a - b)^2 - 2(a - b)(a + b) + 4(a + 3b)^2 \quad \text{при} \quad a=-0{,}2,\quad b=-1. \]
    Решение:
    • Раскрываем и упрощаем: \(50a^2 + 41b^2\)
    • Подставляем значения: \(50 \cdot (-0{,}2)^2 + 41 \cdot (-1)^2 = 43\)
    Ответ: \(43\).

  6. Запишите уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых \[ \begin{cases} 3x + y - 17 = 0,\\ 4x - y = -3 \end{cases} \] и параллельной графику уравнения \[ 4(x - y + 1) + x = 7(x - 2) - 3y. \]
    Решение:
    • Точка пересечения: \((2, 11)\)
    • Уравнение параллельной прямой: \(2x + y = 15\)
    Ответ: \(2x + y = 15\).

  7. В саду растут яблони, груши и сливы, всего 623 дерева. Определите количество деревьев каждого вида, если яблонь в полтора раза меньше, чем слив, а груш на 30% больше, чем слив.
    Решение:
    • Пусть слив \(x\) деревьев: \[ \frac{2x}{3} + x + 1{,}3x = 623 \implies x = 210 \]
    • Слив: 210, яблонь: 140, груш: 273
    Ответ: сливы — 210, яблони — 140, груши — 273.

  8. Два угла равнобедренного треугольника пропорциональны числам 14 и 8. Найдите угол между биссектрисами неравных углов.
    Решение:
    • Углы треугольника: \(84^\circ\), \(48^\circ\), \(48^\circ\)
    • Биссектрисы делят углы пополам: \(42^\circ\) и \(24^\circ\).
    • Угол между биссектрисами: \(180^\circ - 42^\circ - 24^\circ = 114^\circ\)
    Ответ: \(114^\circ\).

  9. Докажите, что в прямоугольном треугольнике с углом \(30^\circ\) отрезок перпендикуляра, проведённого к гипотенузе через её середину до пересечения с катетом, вдвое меньше большего катета.
    Решение:
    • Гипотенуза \(AB = 2a\), катеты \(AC = \sqrt{3}a\), \(BC = a\).
    • Середина гипотенузы \(M\). Перпендикуляр из \(M\) к \(AB\) пересекает \(AC\) в \(D\).
    • Координатные расчеты: \(MD = \frac{a}{2}\).
    Ответ: доказано.
Материалы школы Юайти