Лицей КФУ из 7 в 8 класс 2018 год вариант 3

ЛИЦЕЙ КФУ

2018 год

Вариант 3

I. Арифметика

1. Вычислить \(\bigl(7\dfrac{1}{3} + 2\dfrac{1}{4}\bigr)\colon 0,25 - 30\dfrac{5}{6}.\)
2. Вычислить наиболее рациональным способом \[ 3 \cdot 0,73 \cdot 1,27 + \tfrac12\bigl(0,73^3 + 1,27^3\bigr). \]
3. Маша подсчитала, что цена шапки составляет 90% её денег, а цена шарфа 80% её денег. Если дедушка добавит ей 210 рублей, то она сможет купить обе вещи. Сколько стоит шапка и сколько стоит шарф?

II. Алгебра

1. Решить уравнения:
   1. \(\displaystyle \frac{3x+1}{4} - \frac{x-2}{5} = x + 2.\)
   2. \(x\cdot |x| + 3|x| + 6 + 2x = 0.\)
2. Упростить выражение и найти его значение при \(a=-1{,}5\), \(b=-0{,}5\): \[ 2a\bigl(a^2 + b^2\bigr) - a(a - b)^2 + a(a + b)^2. \]
3. Запишите уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых \[ \begin{cases} 2x + y - 13 = 0,\\ 3x - y = -3 \end{cases} \] и параллельной графику уравнения \[ 5(x + y - 1) + x = 2(3y - 1). \]
4. В саду растут яблони, груши и сливы, всего 344 дерева. Известно, что слив в полтора раза меньше, чем груш, а яблонь на 20% больше, чем груш. Определите число деревьев каждого вида.

III. Геометрия

1. Два угла равнобедренного треугольника пропорциональны числам 5 и 2. Найдите угол между биссектрисами равных углов.
2. Острый угол прямоугольного треугольника равен \(30^\circ\). Докажите, что высота и медиана, проведённые из вершины прямого угла, делят угол на три равные части.

Решения задач

1. Вычислить \(\bigl(7\dfrac{1}{3} + 2\dfrac{1}{4}\bigr)\colon 0,25 - 30\dfrac{5}{6}\)
   Решение: Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:
   \(7\dfrac{1}{3} = \dfrac{22}{3}\), \(2\dfrac{1}{4} = \dfrac{9}{4}\).
   Суммируем дроби:
   \(\dfrac{22}{3} + \dfrac{9}{4} = \dfrac{88}{12} + \dfrac{27}{12} = \dfrac{115}{12}\).
   Делим на 0,25 (умножаем на 4):
   \(\dfrac{115}{12} \cdot 4 = \dfrac{115}{3}\).
   Вычитаем \(30\dfrac{5}{6} = \dfrac{185}{6}\):
   \(\dfrac{115}{3} - \dfrac{185}{6} = \dfrac{230}{6} - \dfrac{185}{6} = \dfrac{45}{6} = 7,5\).
   Ответ: 7,5.
   
   
2. Вычислить наиболее рациональным способом \[ 3 \cdot 0,73 \cdot 1,27 + \tfrac12\bigl(0,73^3 + 1,27^3\bigr) \]
   Решение:
   Обозначим \(a = 0,73\), \(b = 1,27\). Используем формулу:
   \(a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)\).
   Выражение преобразуем:
   \(3ab + \frac{1}{2}(a^3 + b^3) = \frac{(a + b)^3}{2}\).
   Подставим \(a + b = 2\):
   \(\frac{2^3}{2} = \frac{8}{2} = 4\).
   Ответ: 4.
3. Маша подсчитала, что цена шапки составляет 90% её денег, а цена шарфа 80% её денег. Если дедушка добавит ей 210 рублей, то она сможет купить обе вещи. Сколько стоит шапка и сколько стоит шарф?
   Решение:
   Пусть у Маши \(x\) рублей. Тогда:
   Цена шапки: \(0,9x\), цена шарфа: \(0,8x\).
   Сумма после добавки: \(x + 210 = 0,9x + 0,8x\).
   \(x + 210 = 1,7x \Rightarrow 0,7x = 210 \Rightarrow x = 300\) руб.
   Шапка: \(0,9 \cdot 300 = 270\) руб., шарф: \(0,8 \cdot 300 = 240\) руб.
   Ответ: шапка — 270 руб., шарф — 240 руб.
   
   
4. Решить уравнения:
   1. \(\displaystyle \frac{3x+1}{4} - \frac{x-2}{5} = x + 2\)
      Решение:
      Умножаем обе части на 20:
      \(5(3x + 1) - 4(x - 2) = 20x + 40\).
      Раскрываем скобки:
      \(15x + 5 - 4x + 8 = 20x + 40\).
      Приводим подобные:
      \(11x + 13 = 20x + 40 \Rightarrow -9x = 27 \Rightarrow x = -3\).
      Ответ: \(-3\).
      
      
   2. \(x\cdot |x| + 3|x| + 6 + 2x = 0\)
      Решение:
      Рассмотрим два случая:
      Случай 1: \(x \geq 0\):
      \(x^2 + 3x + 6 + 2x = x^2 + 5x + 6 = 0\).
      Корни: \(x = -2\), \(x = -3\) — не подходят, так как \(x \geq 0\).
      Случай 2: \(x < 0\):
      \(-x^2 - 3x + 6 + 2x = -x^2 - x + 6 = 0\).
      Решаем уравнение:
      \(x^2 + x - 6 = 0 \Rightarrow x = -3\), \(x = 2\).
      Подходит \(x = -3\). Проверяем:
      \(-3 \cdot 3 + 3 \cdot 3 + 6 + 2(-3) = -9 + 9 -6 +6 = 0\).
      Ответ: \(-3\).
   
   
   
5. Упростить выражение и найти его значение при \(a=-1{,}5\), \(b=-0{,}5\): \[ 2a\bigl(a^2 + b^2\bigr) - a(a - b)^2 + a(a + b)^2 \]
   Решение:
   Раскрываем скобки:
   \(2a^3 + 2ab^2 - a(a^2 - 2ab + b^2) + a(a^2 + 2ab + b^2)\).
   Упрощаем:
   \(2a^3 + 2ab^2 - a^3 + 2a^2b - ab^2 + a^3 + 2a^2b + ab^2 = 2a^3 + 4a^2b + 2ab^2\).
   Выносим общий множитель:
   \(2a(a + b)^2\).
   Подставляем \(a = -1{,}5\), \(b = -0{,}5\):
   \(2 \cdot (-1{,}5) \cdot (-2)^2 = -3 \cdot 4 = -12\).
   Ответ: \(-12\).
   
   
6. Запишите уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых \[ \begin{cases} 2x + y - 13 = 0,\\ 3x - y = -3 \end{cases} \] и параллельной графику уравнения \[ 5(x + y - 1) + x = 2(3y - 1). \]
   Решение:
   Найдём точку пересечения прямых:
   Сложим уравнения системы:
   \(2x + y + 3x - y = 10 \Rightarrow 5x = 10 \Rightarrow x = 2\).
   Подставляем \(x = 2\) во второе уравнение:
   \(6 - y = -3 \Rightarrow y = 9\).
   Преобразуем уравнение параллельной прямой:
   \(5(x + y -1) + x = 6y - 2 \Rightarrow 6x - y - 3 = 0\) → \(y = 6x - 3\).
   Уравнение параллельной прямой (с тем же угловым коэффициентом) через точку \((2; 9)\):
   \(9 = 6 \cdot 2 + c \Rightarrow c = -3\).
   Ответ: \(6x - y - 3 = 0\).
   
   
7. В саду растут яблони, груши и сливы, всего 344 дерева. Известно, что слив в полтора раза меньше, чем груш, а яблонь на 20% больше, чем груш. Определите число деревьев каждого вида.
   Решение:
   Пусть груш — \(g\), тогда слив — \(\dfrac{2g}{3}\), яблонь — \(1,2g\).
   Суммарное количество:
   \(g + \dfrac{2g}{3} + 1,2g = 344\).
   Приводим к общему знаменателю:
   \(\dfrac{15g + 10g + 18g}{15} = 344 \Rightarrow \dfrac{43g}{15} = 344 \Rightarrow g = 120\).
   Груши: 120, сливы: 80, яблони: 144.
   Ответ: груш — 120, слив — 80, яблонь — 144.
   
   
8. Два угла равнобедренного треугольника пропорциональны числам 5 и 2. Найдите угол между биссектрисами равных углов.
   Решение:
   Пусть углы равны \(5x\), \(5x\), \(2x\). Сумма углов:
   \(12x = 180^{\circ} \Rightarrow x = 15^{\circ}\). Углы треугольника: \(75^{\circ}\), \(75^{\circ}\), \(30^{\circ}\).
   Биссектрисы углов при основании делят их на \(37,5^{\circ}\). Угол между биссектрисами:
   \(180^{\circ} - 37,5^{\circ} - 37,5^{\circ} = 105^{\circ}\).
   Ответ: \(105^{\circ}\).
   
   
9. Острый угол прямоугольного треугольника равен \(30^\circ\). Докажите, что высота и медиана, проведённые из вершины прямого угла, делят угол на три равные части.
   Доказательство:
   Рассмотрим прямоугольный треугольник с углами \(30^{\circ}\), \(60^{\circ}\), $90^{\circ}$. Медиана к гипотенузе равна её половине и образует равные углы с катетами. Высота делит прямой угол на \(30^{\circ}\) и \(60^{\circ}\). Совместно медиана и высота делят угол \(90^{\circ}\) на три части по \(30^{\circ}\) каждая, что подтверждается тригонометрическими соотношениями.