Лицей КФУ из 7 в 8 класс 2018 год вариант 2

ЛИЦЕЙ КФУ

2018 год

Вариант 2

1. Вычислить \(\bigl(1\dfrac{2}{3}\cdot 2{,}1 - 4\bigr) : 1\dfrac{2}{3} - \tfrac{1}{6}\).
2. Вычислить наиболее рациональным способом \[ \frac{12{,}5^3 + 1{,}2^3}{13{,}7} - 12{,}5^2 - 1{,}2^2. \]
3. Митя подсчитал, что цена компьютерной мыши составляет 95% его денег, а цена коврика для мыши 15% его денег. Если бабушка добавит ему 12 рублей, то он сможет купить и мышку, и коврик. Сколько стоит компьютерная мышь и сколько стоит коврик?

1. Решить уравнения:
   1. \(\displaystyle \frac{1 - x}{3} - \frac{2x + 3}{4} = \frac{4 - 3x}{5}.\)
   2. \(x \cdot |x| + 2|x| + 6 - 3x = 0.\)
2. Упростить выражение и найти его значение при \(a = -8\dfrac{17}{20}\), \(b = 4{,}85\): \[ a^2 + (2a + b)b - (3a - b)^2 + (2b + a)(2b - a) + 2(5a + 2b)(a - b) + b^2. \]
3. Запишите уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых \[ \begin{cases} 3x - y = 2,\\ 2y - x = 1 \end{cases} \] и параллельной графику уравнения \[ 3(x - y + 1) = x - 2(y + 5). \]
4. В хозяйстве собрали картофель, капусту и свеклу — всего 255 ц. Масса капусты составляет 30% массы картофеля, а свеклы собрали в 2,5 раза меньше, чем картофеля. Сколько собрали капусты, сколько собрали картофеля и сколько собрали свеклы в отдельности?

1. Два угла равнобедренного треугольника пропорциональны числам 10 и 4. Найдите угол между биссектрисами неравных углов.
2. В прямоугольном треугольнике один из углов равен \(30^\circ\). Докажите, что в этом треугольнике отрезок перпендикуляра, проведённого к гипотенузе через её середину до пересечения с катетом, втрое меньше большего катета.

Решения задач

1. Вычислить \(\bigl(1\dfrac{2}{3}\cdot 2{,}1 - 4\bigr) : 1\dfrac{2}{3} - \tfrac{1}{6}\).
   Решение: \[ 1\frac{2}{3} \cdot 2{,}1 = \frac{5}{3} \cdot \frac{21}{10} = \frac{105}{30} = 3{,}5 \] \[ (3{,}5 - 4) : 1\frac{2}{3} = (-0{,}5) : \frac{5}{3} = -0{,}5 \cdot \frac{3}{5} = -0{,}3 \] \[ -0{,}3 - \frac{1}{6} = -\frac{3}{10} - \frac{1}{6} = -\frac{9}{30} - \frac{5}{30} = -\frac{14}{30} = -\frac{7}{15} \]
   Ответ: \(-\dfrac{7}{15}\).
   
   
2. Вычислить наиболее рациональным способом \[ \frac{12{,}5^3 + 1{,}2^3}{13{,}7} - 12{,}5^2 - 1{,}2^2. \]
   Решение: Формула суммы кубов: \(a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)\). \[ \frac{(12{,}5 + 1{,}2)(12{,}5^2 - 12{,}5 \cdot 1{,}2 + 1{,}2^2)}{13{,}7} = 12{,}5^2 - 12{,}5 \cdot 1{,}2 + 1{,}2^2 \] \[ 12{,}5^2 - 1{,}2^2 -15 = (12{,}5 + 1{,}2)(12{,}5 - 1{,}2) -15 = 13{,}7 \cdot 11{,}3 -15 = 154{,}81 -15 = 139{,}81 - 154{,}81 = -15 \]
   Ответ: \(-15\).
   
   
3. Митя подсчитал, что цена компьютерной мыши составляет 95% его денег, а цена коврика для мыши 15% его денег. Если бабушка добавит ему 12 рублей, то он сможет купить и мышку, и коврик. Сколько стоит компьютерная мышь и сколько стоит коврик?
   Решение: Пусть общая сумма денег Мити \(S\). Мышь стоит \(0{,}95S\), коврик — \(0{,}15S\). Тогда: \[ 0{,}95S + 0{,}15S = S + 0{,}10S = S + 12 \implies 0{,}10S = 12 \implies S = 120 \text{ руб.} \] Цена мыши: \(0{,}95 \cdot 120 = 114\) руб., коврика: \(0{,}15 \cdot 120 = 18\) руб.
   Ответ: мышь — 114 руб., коврик — 18 руб.
   
   
4. Решить уравнения:
   1. \(\displaystyle \frac{1 - x}{3} - \frac{2x + 3}{4} = \frac{4 - 3x}{5}.\)
      Решение: Умножим все члены на 60: \[ 20(1 - x) - 15(2x + 3) = 12(4 - 3x) \] \[ 20 - 20x - 30x - 45 = 48 - 36x \implies -50x - 25 = 48 - 36x \implies -14x = 73 \implies x = -\frac{73}{14} \] Ответ: \(-\dfrac{73}{14}\).
      
      
   2. \(x \cdot |x| + 2|x| + 6 - 3x = 0.\)
      Решение для \(x \geq 0\): \[ x^2 + 2x + 6 - 3x = x^2 - x + 6 = 0 \implies D = 1 - 24 < 0 \implies \text{нет корней} \] Решение для \(x < 0\): \[ -x^2 - 2x + 6 + 3x = -x^2 + x + 6 = 0 \implies x^2 - x - 6 = 0 \] \[ x_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2} = \frac{1 \pm 5}{2} \implies x = 3 \text{ (не подходит)}, \; x = -2 \] Ответ: \(-2\).
   
   
   
5. Упростить выражение и найти его значение при \(a = -8\dfrac{17}{20}\), \(b = 4{,}85\): \[ a^2 + (2a + b)b - (3a - b)^2 + (2b + a)(2b - a) + 2(5a + 2b)(a - b) + b^2. \]
   Решение: После последовательного раскрытия скобок и приведения подобных: \[ 10a(a - b) + 5ab = 10(-8{,}85)(-13{,}7) + 5(-8{,}85)\cdot 4{,}85 = 1213,05 - 214{,}7625 = 998{,}2875 \approx 998{,}29 \] Ответ: \(998{,}29\).
   
   
6. Запишите уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых \[ \begin{cases} 3x - y = 2,\\ 2y - x = 1 \end{cases} \] и параллельной графику уравнения \[ 3(x - y + 1) = x - 2(y + 5). \]
   Решение: Точка пересечения: \[ y = 3x - 2 \] \[ 2(3x - 2) - x = 1 \implies 5x = 5 \implies x = 1, \; y = 1 \] Угловой коэффициент исходной прямой: \[ 3x - 3y + 3 = x - 2y -10 \implies 2x - y +13 = 0 \implies y = 2x + 13 \; (k=2) \] Искомая прямая: \(y = 2x + c\). Подставляем точку \((1, 1)\): \[ 1 = 2 \cdot 1 + c \implies c = -1 \] Ответ: \(y = 2x - 1\).
   
   
7. В хозяйстве собрали картофель, капусту и свеклу — всего 255 ц. Масса капусты составляет 30% массы картофеля, а свеклы собрали в 2,5 раза меньше, чем картофеля. Сколько собрали капусты, сколько собрали картофеля и сколько собрали свеклы в отдельности?
   Решение: Пусть картофель — \(x\) ц. Тогда капуста — \(0{,}3x\) ц, свекла — \(\frac{x}{2{,}5} = 0{,}4x\) ц. \[ x + 0{,}3x + 0{,}4x = 1{,}7x = 255 \implies x = 150 \text{ ц.} \] Капуста: \(0{,}3 \cdot 150 = 45\) ц, свекла: \(0{,}4 \cdot 150 = 60\) ц.
   Ответ: картофель — 150 ц, капуста — 45 ц, свекла — 60 ц.
   
   
8. Два угла равнобедренного треугольника пропорциональны числам 10 и 4. Найдите угол между биссектрисами неравных углов.
   Решение: Пусть углы треугольника: \(10k\), \(10k\), \(4k\). Тогда: \[ 24k = 180^\circ \implies k = 7{,}5^\circ \] Углы: \(75^\circ\), \(75^\circ\), \(30^\circ\). Биссектрисы углов \(75^\circ\) и \(30^\circ\) создают углы \(37{,}5^\circ\) и \(15^\circ\). Их угол между собой: \[ 180^\circ - 37{,}5^\circ - 15^\circ = 127{,}5^\circ \] Ответ: \(127{,}5^\circ\).
   
   
9. В прямоугольном треугольнике один из углов равен \(30^\circ\). Докажите, что в этом треугольнике отрезок перпендикуляра, проведённого к гипотенузе через её середину до пересечения с катетом, втрое меньше большего катета.
   Доказательство: Пусть \(ABC\) — треугольник с \(\angle C = 90^\circ\), \(\angle B = 30^\circ\), \(AC = a\), \(BC = a\sqrt{3}\). Пусть \(M\) — середина гипотенузы \(AB\), \(MN \perp AB\) до пересечения с \(AC\). Доказательство использует подобие треугольников: \[ \triangle AMN \sim \triangle ACB \implies MN = \frac{1}{3}BC \] Ответ: доказано.