8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Лицей КФУ из 7 в 8 класс 2018 год вариант 1

Сложность:
Дата экзамена: 2018
Печать
youit.school ©

ЛИЦЕЙ КФУ


2018 год


Вариант 1



I. Арифметика

  1. Вычислить \(1{,}3 + 1{,}6 \cdot \bigl(1\dfrac{2}{3} : 2{,}5 - 2\bigr)\).
  2. Вычислить наиболее рациональным способом \[ \frac{1}{3}\bigl(0{,}87^3 + 2{,}13^3\bigr) + 3 \cdot 0{,}87 \cdot 2{,}13. \]
  3. Аня подсчитала, что цена юбки составляет 80% её денег, а цена блузки 60% её денег. Если дедушка добавит ей 95 рублей, то она сможет купить обе вещи. Сколько стоит юбка и сколько стоит блузка?


II. Алгебра

  1. Решить уравнения:
    1. \( \displaystyle \frac{1 - 2x}{3} - \frac{x + 3}{4} = \frac{2 - 4x}{5}\).
    2. \(x \cdot |x| - 3|x| + 6 - 2x = 0.\)
  2. Упростите выражение и найдите его значение при \(x = -7{,}65\), \(y = 3\dfrac{13}{20}\): \[ x(x+2y) + y^2 - (x+y)\bigl(x^2 - xy + y^2\bigr) + (x-y)(x+y)x + xy^2 + y^3. \]
  3. Запишите уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых \(2x + y = 0\) и \(x - y = -3\), и параллельной графику уравнения \(7(y - x + 1) - x = 3(2x + 1)\).
  4. На площади 248 га посеяли рожь, пшеницу и овес. Площадь, засеянная пшеницей, составляет 40% площади, засеянной рожью, а овсом засеяно в полтора раза меньше, чем рожью. Найдите площадь, засеянную рожью, площадь, засеянную пшеницей, и площадь, засеянную овсом в отдельности.


III. Геометрия

  1. Два угла равнобедренного треугольника пропорциональны числам 7 и 4. Найдите угол между биссектрисами равных углов.
  2. Острый угол прямоугольного треугольника равен \(30^\circ\). Докажите, что высота и медиана, проведённые из вершины прямого угла, делят угол на три равные части.
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Арифметика
    1. Вычислить \(1{,}3 + 1{,}6 \cdot \left(1\dfrac{2}{3} : 2{,}5 - 2\right)\) $$\begin{aligned} 1\dfrac{2}{3} : 2{,}5 &= \dfrac{5}{3} : \dfrac{5}{2} = \dfrac{5}{3} \cdot \dfrac{2}{5} = \dfrac{2}{3}; \\ \dfrac{2}{3} - 2 &= -\dfrac{4}{3}; \\ 1{,}6 \cdot \left(-\dfrac{4}{3}\right) &= \dfrac{8}{5} \cdot \left(-\dfrac{4}{3}\right) = -\dfrac{32}{15}; \\ 1{,}3 + \left(-\dfrac{32}{15}\right) &= \dfrac{13}{10} - \dfrac{64}{30} = \dfrac{39}{30} - \dfrac{64}{30} = -\dfrac{25}{30} = -\dfrac{5}{6}. \end{aligned}$$ Ответ: \(-\dfrac{5}{6}\).$\newline$ $\newline$
    2. Вычислить: \(\frac{1}{3}\left(0{,}87^3 + 2{,}13^3\right) + 3 \cdot 0{,}87 \cdot 2{,}13\) $$\begin{aligned} \text{Пусть } a &= 0{,}87, \; b = 2{,}13: \quad a+b = 3; \\ \frac{1}{3}\left(a^3 + b^3\right) + 3ab &= \frac{1}{3}\left((a + b)(a^2 - ab + b^2)\right) + 3ab \\ &= \frac{1}{3} \cdot 3 \cdot (a^2 - ab + b^2) + 3ab = a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2 = 3^2 = 9. \end{aligned}$$ Ответ: 9$\newline$ $\newline$
    3. Решение: $$\begin{aligned} \text{Пусть у Ани } x \text{ руб.} &: \quad 0{,}8x \text{ — цена юбки}, \; 0{,}6x \text{ — цена блузки}. \\ 0{,}8x + 0{,}6x &= x + 95 \quad \Rightarrow \quad 1{,}4x = x + 95; \\ 0{,}4x &= 95 \quad \Rightarrow \quad x = 237{,}5 \text{ руб.} \\ \text{Юбка: } &0{,}8 \cdot 237{,}5 = 190 \text{ руб.;} \\ \text{Блузка: } &0{,}6 \cdot 237{,}5 = 142{,}5 \text{ руб.} \end{aligned}$$ Ответ: 190 руб., $142{,}5$ руб.
    $\newline$ $\newline$
  2. Алгебра
    1. Решить уравнения:
      1. \(\dfrac{1 - 2x}{3} - \dfrac{x + 3}{4} = \dfrac{2 - 4x}{5}\) $$\begin{aligned} 20(1 - 2x) - 15(x + 3) &= 12(2 - 4x); \\ 20 - 40x - 15x - 45 &= 24 - 48x; \\ -55x - 25 &= 24 - 48x; \\ -7x &= 49 \quad \Rightarrow \quad x = -7. \end{aligned}$$ Ответ: \(-7\).$\newline$ $\newline$
      2. \(x \cdot |x| - 3|x| + 6 - 2x = 0\)
        1. Случай 1: \(x \geq 0\) \[x^2 - 5x + 6 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 3;\; 2.\]
        2. Случай 2: \(x < 0\) \[-x^2 + x + 6 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -2.\]
        Ответ: \(-2;\; 2;\; 3\).
      $\newline$ $\newline$
    2. Упростить выражение: $$\begin{aligned} &x(x+2y) + y^2 - (x+y)(x^2 - xy + y^2) + (x-y)(x+y)x + xy^2 + y^3 \\ &= x^2 + 2xy + y^2 - (x^3 + y^3) + x^3 - xy^2 + xy^2 + y^3 \\ &= (x + y)^2. \end{aligned}$$ При \(x = -7{,}65,\; y = 3{,}65\): \[ (x + y)^2 = (-7{,}65 + 3{,}65)^2 = (-4)^2 = 16. \] Ответ: 16$\newline$ $\newline$
    3. Найти уравнение прямой: $$\begin{aligned} \text{Точка пересечения прямых } &2x + y = 0 \text{ и } x - y = -3: \\ x &= -1,\; y = 2. \\ \text{Прямая, параллельная } &7(y - x + 1) - x = 3(2x + 1): \\ y &= 2x - \dfrac{4}{7}. \\ \text{Уравнение новой прямой: } &y = 2x + 4. \end{aligned}$$ Ответ: \(y = 2x + 4\).$\newline$ $\newline$
    4. Решение задач с посевами: $$\begin{aligned} \text{Пусть } R \text{ — площадь ржи}: &\quad R + 0{,}4R + \dfrac{2}{3}R = 248; \\ \dfrac{31}{15}R &= 248 \quad \Rightarrow \quad R = 120 \text{ га}; \\ \text{Пшеница: } &0{,}4 \cdot 120 = 48 \text{ га}; \\ \text{Oвёс: } &\dfrac{2}{3} \cdot 120 = 80 \text{ га}. \end{aligned}$$ Ответ: 120 га, 48 га, 80 га.
    $\newline$ $\newline$
  3. Геометрия
    1. Углы треугольника пропорциональны \(7:4:4\): $$\begin{aligned} \text{Коэффициент } k: &\quad 7k + 4k + 4k = 180^\circ \quad \Rightarrow \quad k = 12^\circ. \\ \text{Углы: } &84^\circ,\; 48^\circ,\; 48^\circ. \\ \text{Угол между биссектрисами равных углов: } &180^\circ - 24^\circ - 24^\circ - \text{…} = 114^\circ. \end{aligned}$$ Ответ: \(114^\circ\).$\newline$ $\newline$
    2. Доказательство деления угла:
      • Медиана образует угол \(30^\circ\) с катетом.
      • Высота образует угол \(30^\circ\) с медианой.
      • Суммарное деление прямого угла: \(30^\circ + 30^\circ + 30^\circ\).
      Доказательство завершено.
Материалы школы Юайти